Question

已知數(shù)列{a_n}，{b_n}滿足a₁=2，2a_n=1+a_na_n+1，b_n=a_n-1，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n，T_n=S_2n-S_n．
（1）求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求證：T_n+1＞T_n；
（3）求證：當(dāng)n≥2時(shí)，S₂ⁿ≥

7n+11

12

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式,數(shù)列的求和

專題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（1）根據(jù)條件利用構(gòu)造法求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求出T_n，利用作差法即可證明T_n+1＞T_n；
（3）求出S₂ⁿ ，結(jié)合不等式的證明方法即可證明當(dāng)n≥2時(shí)，S₂ⁿ≥

7n+11

12

．

解答： 解：（1）由b_n=a_n-1，得a_n=b_n+1，代入2a_n=1+a_na_n+1，
得2（b_n+1）=1+（b_n+1）（b_n+1+1），
∴b_nb_n+1+b_n+1-b_n=0，從而有

1

bn+1

-

1

bn

=1，
∵b₁=a₁-1=2-1=1，
∴{

1

bn

}是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，
∴

1

bn

=n，即bn=

1

n

．…（5分）
（2）∵Sn=1+

1

2

+…+

1

n

，
∴Tn=S2n-Sn=

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

2n

，Tn+1=

1

n+2

+

1

n+3

+…+

1

2n

+

1

2n+1

+

1

2n+2

，Tn+1-Tn=

1

2n+1

+

1

2n+2

-

1

n+1

＞

1

2n+2

+

1

2n+2

-

1

n+1

=0，
∴T_n+1＞T_n．…（10分）
（3）∵n≥2，
∴S2n=S2n-S2n-1+S2n-1-S2n-2+…+S2-S1+S1=T2_n-1．
由（2）知T2_n-1，
∵T1=

1

2

，S1=1，T2=

7

12

，
∴S2n=T2_n-1≥（n-1）T₂+T₁+S₁=

7

12

(n-1)+

1

2

+1=

7n+11

12

．…（16分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查數(shù)列通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和的計(jì)算，考查數(shù)列和不等式之間的綜合應(yīng)用，運(yùn)算量較大，綜合性較強(qiáng)，考查學(xué)生的計(jì)算能力．