Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和Sn=12n-n2．(n∈N°)
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設數(shù)列{ b_n-|a_n|}是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，求{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)a_n與S_n的關系式，當n≥2時a_n=s_n-s_n-1求出表達式，注意驗證n=1時是否符合；
（Ⅱ）根據(jù)等比數(shù)列的通項公式和（Ⅰ）結論，求出b_n的表達式，利用分組求和法和分類討論法分別求出T_n．

解答：解：當n=1時，a₁=s₁=12-1=11，
當n≥2時，a_n=s_n-s_n-1=12n-n²-[12（n-1）-（n-1）²]=13-2n，
當n=1時，a₁=13-2=11也符合上式，
∴數(shù)列{a_n}的通項公式為a_n=13-2n．
（Ⅱ）由題意，b_n-|a_n|=2^n-1，即 b_n=a_n+2^n-1，
∴T_n=（2⁰+|a₁|）+（2¹+|a₂|）+…+（2^n-1+|a_n|）
=（2⁰+2¹+…+2^n-1）+（|a₁|+|a₂|+…+|a_n|）
=（2ⁿ-1）+（|a₁|+|a₂|+…+|a_n|）
令a_n=13-2n≥0，且n∈N₊，解得n≤6，
當n≤6時，|a₁|+|a₂|+…|a_n|=a₁+a₂+…+a_n=Sn=12n-n2，
當n＞6時，|a₁|+|a₂|+…|a_n|=（a₁+a₂+…+a₆）-（a₇+a₈+…+a_n）
=2s₆-s_n=n²-12n+72，
綜上得，T_n=

2n-1+12n-n2               n≤6 2n+n2-12n+71            n＞6

．

點評：本題考查了等差（等比）數(shù)列的通項公式和前n項和公式，以及數(shù)列a_n與S_n的關系式等，考查了分類討論的思想、運算能力、分析問題和解決問題的能力．