在△ABC中,設(shè)
BC
CA
=
CA
AB
,
(1)求證:△ABC為等腰三角形;
(2)若|
BA
+
BC
|=2,且B∈[
π
3
3
],求
BA
BC
的取值范圍.
分析:(1)由
BC
CA
=
CA
AB
,知
CA
•(
BC
-
AB
)=0
,由
AB
+
BC
+
CA
=
0
,知
CA
=-(
AB
+
BC
)
,所以
AB
2
-
BC
2
 =
0
,由此能夠證明△ABC為等腰三角形.
(2)由B∈[
π
3
3
]
,知cosB∈[-
1
2
,
1
2
]
,設(shè)|
AB
| =|
BC
| =a
,由|
BA
+
BC
|  =2
,知a2+a2+2a2cosB=4,所以a2=
2
1+cosB
,由此能夠求出
BA
BC
的取值范圍.
解答:解:(1)∵
BC
CA
=
CA
AB
,
CA
•(
BC
-
AB
)=0
,
AB
+
BC
+
CA
=
0
,(3分)
CA
=-(
AB
+
BC
)
,
-(
AB
+
BC
)•(
BC
-
AB
)=
0
,
AB
2
-
BC
2
 =
0
,
所以|
AB
|2=|
BC
|2

即|AB|=|BC|,
故△ABC為等腰三角形.(6分)
(2)∵B∈[
π
3
,
3
]
,
cosB∈[-
1
2
1
2
]
,
設(shè)|
AB
| =|
BC
| =a

|
BA
+
BC
|  =2
,
|
BA
+
BC
|2=4
,(9分)
∴a2+a2+2a2cosB=4,
a2=
2
1+cosB

BA
BC
=|
BA
| •|
BC
| cosB=a2
,
cosB=
2cosB
1+cosB
=2-
2
1+cosB
∈[-2,
2
3
]
(12分)
點(diǎn)評(píng):本題考查平面向量的綜合運(yùn)用,是中檔題.解題時(shí)要認(rèn)真審題,仔細(xì)解答,注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在△ABC中,設(shè)BC,CA,AB的長(zhǎng)度分別為a,b,c,證明:a2=b2+c2-2bccosA.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在△ABC中,設(shè)
BC
=
a
,
CA
=
b
,則
AB
=
-(
a
+
b
-(
a
+
b

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在△ABC中,設(shè)
BC
=
a
,
AC
=
b
,且|
a
|=2,|
b
|=3,
a
b
=3
,則∠C的大小為( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2015屆陜西省高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題

如圖,在△ABC中,設(shè)BC,CA, AB的長(zhǎng)度分別為a,bc,證明:a2=b2+c2-2bccosA

 

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