已知平面向量
a
=（
3
，-1），
b
=（
1
2
，
3
2
）．
（I）若存在實數(shù)k和t，使得
x
=
a
+（t2-3）
b
，
y
=-k
a
+
b
，且
x
⊥
y
，試求函數(shù)的關系式k=f（t）；
（II）根據(jù)（I）結(jié)論，確定k=f（t）的單調(diào)區(qū)間．
分析：（I）利用向量模的坐標公式求出向量的模，利用向量垂直的充要條件列出方程，將方程變形表示出k．
（II）求出函數(shù)f（t）的導數(shù)，令導數(shù)大于0，求出不等式的解集即為單調(diào)遞增區(qū)間；令導函數(shù)小于0求出不等式的解集為單調(diào)遞減區(qū)間．
解答：解：（I）∵
a
=(
3
，-1)，
b
=(
1
2
，
3
2
)
∴|
a
|=2，|
b
|=1，
a
•
b
=
3
×
1
2
-1×
3
2
=0 
∴
a
⊥
b

∵
x
⊥
y
，∴
x
•
y
=0
即-k|
a
|2+t(t2-3)|
b
|2=0，
∴t3-3t-4k=0
即k=
1
4
t3-
3
4
t

（II）由（I）知，k=f（t）=
1
4
t3-
3
4
t，
∴k′=
3
4
t2-
3
4
=
3
4
(t+1)(t-1)
令k′＜0得-1＜t＜1，令k′＞0得t＜-1或t＞1
故k=f（t）的單調(diào)遞減區(qū)間是[-1，1]；
單調(diào)遞增區(qū)間是（-∞，-1]，[1，+∞）．
點評：本題考查向量模的坐標公式；向量垂直的充要條件；利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知平面向量
a
=（
3
，-1），
b
=（
1
2
，
3
2
）．
（1）證明：|
a
+
b
|=|
a
-
b
|； 
（2）若存在不同時為零的實數(shù)k和t，使
x
=
a
+（t2-3）
b
，
y
=-k
a
+t
b
，且
x
⊥
y
，試求函數(shù)關系式k=f（t）；
（3）據(jù)（2）的結(jié)論，討論關于t的方程f（t）-k=0的解的情況．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知平面向量
a
=（
3
，-1），
b
=（
1
2
，
3
2
）．
（1）證明：
a
⊥
b
；
（2）若存在實數(shù)k和t，使得x=
a
+（t2-3）
b
，y=-k
a
+t
b
，且x⊥y，試求函數(shù)關系式k=f（t）；
（3）根據(jù)（2）的結(jié)論，確定k=f（t）的單調(diào)區(qū)間．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2014•江門模擬）已知平面向量
a
=(λ，-3)，
b
=(4，-2)，若
a
⊥
b
，則實數(shù)λ=（　　）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知平面向量
a
=（
3
，-1），
b
=（
1
2
，
3
2
）．
（1）若存在實數(shù)k和t，滿足
x
=（t-2）
a
+（t2-t-5）
b
，
y
=-k
a
+4
b
，且
x
⊥
y
，求出k關于t的關系式k=f（t）；
（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，試求出函數(shù)k=f（t）在t∈（-2，2）上的最小值．

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