Question

14．惠城某影院共有100個座位，票價不分等次．根據(jù)該影院的經(jīng)營經(jīng)驗，當每張標價不超過10元時，票可全部售出；當每張票價高于10元時，每提高1元，將有3張票不能售出．為了獲得更好的收益，需給影院定一個合適的票價，符合的基本條件是：
①為方便找零和算帳，票價定為1元的整數(shù)倍；
②影院放映一場電影的成本費用支出為575元，票房收入必須高于成本支出．
用x（元）表示每張票價，用y（元）表示該影院放映一場的凈收入（除去成本費用支出后的收入）．
（Ⅰ）把y表示成x的函數(shù)，并求其定義域；
（Ⅱ）試問在符合基本條件的前提下，每張票價定為多少元時，放映一場的凈收入最多？

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)x的范圍，分段求出函數(shù)表達式；
（Ⅱ）分別求出兩個函數(shù)的最大值，從而綜合得到答案．

解答 解：（Ⅰ）由題意知當x≤10時，y=100x-575，
當x＞10時，y=[100-3（x-10）]x-575=-3x²+130x-575
由$\left\{\begin{array}{l}100x-575＞0\\-3{x^2}+130x-575＞0\end{array}\right.$---------------（3分）
解之得：$5.75＜x＜\frac{{130+\sqrt{{{130}^2}-12×575}}}{6}=\frac{{130+\sqrt{10000}}}{6}=\frac{130}{3}≈38.3$
又∵x∈N，∴6≤x≤38---------------（5分）
∴所求表達式為$y=\left\{\begin{array}{l}100x-575，6≤x≤10，x∈N\\-3{x^2}+130x-575，10＜x≤38，x∈N\end{array}\right.$
定義域為{x∈N|6≤x≤38}．---------------（6分）
（Ⅱ）當y=100x-575，6≤x≤10，x∈N時，
故x=10時y_max=425---------------------------（8分）
當y=-3x²+130x-575，10＜x≤38，x∈N時$y=-3{（x-\frac{65}{3}）^2}+\frac{2500}{3}$，-------------（10分）
故x=22時y_max=833-------------（11分）
所以每張票價定為22元時凈收入最多．-------------（12分）

點評 本題考查了一次函數(shù)、二次函數(shù)的性質(zhì)及應用，根據(jù)x的范圍得到函數(shù)的解析式是解題的關鍵，屬于中檔題．