如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C：(x＋1)2＋y2＝16，點(diǎn)F(1，0)，E是圓C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，EF的垂直平分線PQ與CE交于點(diǎn)B，與EF交于點(diǎn)D.

(1) 求點(diǎn)B的軌跡方程；

(2) 當(dāng)點(diǎn)D位于y軸的正半軸上時(shí)，求直線PQ的方程；

(3) 若G是圓C上的另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足FG⊥FE，記線段EG的中點(diǎn)為M，試判斷線段OM的長(zhǎng)度是否為定值？若是，求出該定值；若不是，說(shuō)明理由．


解：(1) 連結(jié)BF，由已知BF＝BE，所以BC＋BF＝BC＋BE＝CE＝4，

所以點(diǎn)B的軌跡是以C、F為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸為4的橢圓，所以B點(diǎn)的軌跡方程為＋＝1.

(2) 當(dāng)點(diǎn)D位于y軸的正半軸上時(shí)，因?yàn)镈是線段EF的中點(diǎn)，O為線段CF的中點(diǎn)，所以CE∥OD，且CE＝2OD，所以E、D的坐標(biāo)分別為(－1，4)和(0，2)．

因?yàn)镻Q是線段EF的垂直平分線，所以直線PQ的方程為y＝x＋2，即直線PQ的方程為x－2y＋4＝0.

(3) 設(shè)點(diǎn)E、G的坐標(biāo)分別為(x1，y1)和(x2，y2)，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為，因?yàn)辄c(diǎn)E、G均在圓C上，且FG⊥FE，所以(x1＋1)2＋y＝16，①　(x2＋1)2＋y＝16，②

(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝0，③

所以x＋y＝15－2x1，x＋y＝15－2x2，x1x2＋y1y2＝x1＋x2－1.所以MO2＝[(x1＋x2)2＋(y1＋y2)2]＝·[(x＋y)＋(x＋y)＋2(x1x2＋y1y2)]＝[15－2x1＋15－2x2＋2(x1＋x2－1)]＝7，即M點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離為定值，且定值為.


練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：


將函數(shù)y＝sinx的圖象上所有的點(diǎn)向右平行移動(dòng) 個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍(縱坐標(biāo)不變)，所得圖象的函數(shù)解析式是____________________．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：


已知角θ的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(－x，－6)，且cosθ＝－，則sinθ＝____________，tanθ＝____________．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：


已知雙曲線方程是x2－＝1，過(guò)定點(diǎn)P(2，1)作直線交雙曲線于P1、P2兩點(diǎn)，并使P(2，1)為P1P2的中點(diǎn)，則此直線方程是____________．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：


如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓＋＝1的左、右頂點(diǎn)為A、B，右焦點(diǎn)為F.設(shè)過(guò)點(diǎn)T(t，m)的直線TA、TB與橢圓分別交于點(diǎn)M(x1，y1)、N(x2，y2)，其中m>0，y1>0，y2<0.

(1) 設(shè)動(dòng)點(diǎn)P滿足PF2－PB2＝4，求點(diǎn)P的軌跡；

(2) 設(shè)x1＝2，x2＝，求點(diǎn)T的坐標(biāo)；

(3) 設(shè)t＝9，求證：直線MN必過(guò)x軸上的一定點(diǎn)(其坐標(biāo)與m無(wú)關(guān))．

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：


 已知橢圓＋＝1(a＞b＞0)的離心率為，短軸的一個(gè)端點(diǎn)為M(0，1)，直線l：y＝kx－與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)A、B.

(1) 若AB＝，求k的值；

(2) 求證：不論k取何值，以AB為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)M.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：


　如圖，橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的離心率為，其左焦點(diǎn)到點(diǎn)P(2，1)的距離為.不過(guò)原點(diǎn)O的直線l與C相交于A，B兩點(diǎn)，且線段AB被直線OP平分．

(1) 求橢圓C的方程；

(2) 求△ABP面積取最大值時(shí)直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：


已知橢圓C的方程為＋＝1(a>b>0)，雙曲線－＝1的兩條漸近線為l1、l2，過(guò)橢圓C的右焦點(diǎn)F作直線l，使l⊥l1.又l與l2交于P點(diǎn)，設(shè)l與橢圓C的兩個(gè)交點(diǎn)由上至下依次為A、B(如圖)．

(1) 當(dāng)l1與l2夾角為60°，雙曲線的焦距為4時(shí)，求橢圓C的方程；

(2) 當(dāng)＝λ，求λ的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：


 已知橢圓C：＝1(a＞b＞0)的離心率為，F(xiàn)為橢圓的右焦點(diǎn)，M、N兩點(diǎn)在橢圓C上，且 (λ＞0)，定點(diǎn)A(－4，0)．

(1) 求證：當(dāng)λ＝1時(shí)，；

(2) 若當(dāng)λ＝1時(shí)，有＝，求橢圓C的方程．

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