Question

已知點A、B的坐標分別是（0，-1）、（0，1），|AB|是|MA|和|MB|的等差中項
（1）求動點M的軌跡方程；
（2）設過（0，-2）的直線l與動點M的軌跡交于C、D兩點，且

.

OC

•

.

OD

=2，求直線l的方程．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題,軌跡方程

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）由等差數列的性質可得2|AB|=|MA|+|MB|=4，再利用橢圓的定義可知：動點M的軌跡是橢圓．
（2）點（0，-2）是橢圓的一個頂點，不妨取C（0，-2）．設D（x₀，y₀），當直線l為y軸時，不滿足

.

OC

•

.

OD

=2，應舍去．
設直線l的方程為y=kx-2，與橢圓的方程聯立可得根與系數的關系，再利用數量積運算即可得出．

解答： 解：（1）設M（x，y），
∵|AB|是|MA|和|MB|的等差中項，
∴2|AB|=|MA|+|MB|，
∴|MA|+|MB|=4＞2=|AB|，
由橢圓的定義可知：動點M的軌跡是橢圓．
設橢圓的標準方程為：

y2

a2

+

x2

b2

=1(a＞b＞0)．
∴a=2，c=1，b²=a²-c²=3．
∴動點M的軌跡方程為：

y2

4

+

x2

3

=1．
（2）∵點（0，-2）是橢圓的一個頂點，不妨取C（0，-2）．
設D（x₀，y₀），當直線l為y軸時，不滿足

.

OC

•

.

OD

=2，應舍去．
設直線l的方程為y=kx-2．
聯立

y=kx-2 y2 4 + x2 3 =1

，化為（3k²+4）x²-12kx=0，
解得x=0或

12k

3k2+4

．∴D(

12k

3k2+4

，

6k2-8

3k2+4

)．
∵

.

OC

•

.

OD

=2，∴

-2(6k2-8)

3k2+4

=2，解得k=±

2

3

．
∴直線l的方程為：y=±

2

3

x-2．

點評：本題考查了等差數列的性質、橢圓的定義、直線與橢圓相交問題轉化為方程聯立得到根與系數的關系、數量積運算等基礎知識與基本技能方法，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．