【題目】(本小題滿分12分)已知點為拋物線的焦點,點在拋物線上,且.
(Ⅰ)求拋物線的方程;
(Ⅱ)已知點,延長交拋物線于點,證明:以點為圓心且與直線相切的圓,必與直線相切.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)詳見解析.
【解析】解法一:(Ⅰ)由拋物線的定義得.
因為,即,解得,所以拋物線的方程為.
(Ⅱ)因為點在拋物線 上,
所以,由拋物線的對稱性,不妨設(shè).
由,可得直線的方程為.
由,得,
解得或,從而.
又,
所以,,
所以,從而,這表明點到直線,的距離相等,
故以為圓心且與直線相切的圓必與直線相切.
解法二:(Ⅰ)同解法一.
(Ⅱ)設(shè)以點為圓心且與直線相切的圓的半徑為.
因為點在拋物線 上,
所以,由拋物線的對稱性,不妨設(shè).
由,可得直線的方程為.
由,得,
解得或,從而.
又,故直線的方程為,
從而.
又直線的方程為,
所以點到直線的距離.
這表明以點為圓心且與直線相切的圓必與直線相切.
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【題目】如圖,在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中,側(cè)面ACC1A1與側(cè)面CBB1C1都是菱形,∠ACC1=∠CC1B1=60°,AC=2.
(1)求證:AB1⊥CC1;
(2)若 ,求二面角C﹣AB1﹣A1的正弦值.
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【題目】解答
(1)若ax>lnx恒成立,求實數(shù)a的取值范圍;
(2)證明:a>0,x0∈R,使得當x>x0時,ax>lnx恒成立.
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【題目】如圖放置的邊長為2的正三角形沿軸滾動, 設(shè)頂點的縱坐標與橫坐標的函數(shù)關(guān)系式是, 有下列結(jié)論:
①函數(shù)的值域是;②對任意的,都有;
③函數(shù)是偶函數(shù);④函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為.
其中正確結(jié)論的序號是________. (寫出所有正確結(jié)論的序號)
說明:
“正三角形沿軸滾動”包括沿軸正方向和沿軸負方向滾動. 沿軸正方向滾動指的是先以頂點為中心順時針旋轉(zhuǎn), 當頂點落在軸上時, 再以頂點為中心順時針旋轉(zhuǎn), 如此繼續(xù). 類似地, 正三角形可以沿軸負方向滾動.
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【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=|x﹣4|,g(x)=|2x+1|.
(1)解不等式f(x)<g(x);
(2)若2f(x)+g(x)>ax對任意的實數(shù)x恒成立,求a的取值范圍.
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【題目】已知函數(shù),.
(Ⅰ)若函數(shù)在處的切線方程為,求的值;
(Ⅱ)當時,若不等式恒成立,求的取值范圍;
(Ⅲ)當時,若方程在上總有兩個不等的實根, 求的最小值.
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【題目】設(shè) 為實數(shù),且,
(I)求方程的解;
(II)若滿足,求證:①②;
(III)在(2)的條件下,求證:由關(guān)系式所得到的關(guān)于的方程存在,使
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【題目】某創(chuàng)業(yè)團隊擬生產(chǎn)兩種產(chǎn)品,根據(jù)市場預(yù)測,產(chǎn)品的利潤與投資額成正比(如圖1),產(chǎn)品的利潤與投資額的算術(shù)平方根成正比(如圖2).(注: 利潤與投資額的單位均為萬元)
(注:利潤與投資額的單位均為萬元)
(1)分別將兩種產(chǎn)品的利潤、表示為投資額的函數(shù);
(2)該團隊已籌集到10 萬元資金,并打算全部投入兩種產(chǎn)品的生產(chǎn),問:當產(chǎn)品的投資額為多少萬元時,生產(chǎn)兩種產(chǎn)品能獲得最大利潤,最大利潤為多少?
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