Question

【題目】在正方體的個頂點，個側(cè)面（底面）的中心及體的中心共個點中，若由兩兩不同的且不共線的個點構(gòu)成的平面與由另外個不同點構(gòu)成的直線垂直，則稱這個點為“正交點組”，那么，由這個點形成的正交點組的總個數(shù)為（ ）

A. B. C. D.

Answer 1

【答案】D

【解析】

如圖，設(shè)為體的中心，為各側(cè)面中心.

按構(gòu)成平面的那個點所在的平面（簡稱為“點平面”）進行分類討論.

觀察知點平面只有種可能：側(cè)面（如），對角面（如），由三個頂點構(gòu)成的正三角形（如），中心面（如）.

（1）當(dāng)側(cè)面為時，由可構(gòu)成個不共線的點組（點平面，以下同），由可構(gòu)成個點組，于是，由點組與點組可組合成個正交點組.另外，由點及中的某兩個點可形成個不共線的點組，任取此個點組中的任何一個，例如，與此點組垂直的點組為，，，故可形成個正交點組.注意到，共有個側(cè)面.從而，點組由側(cè)面形成的正交點組一共有個.

（2）當(dāng)對角面為時，可知點組由中的個點形成的正交點組共有個.因為一共有個對角面，所以，一共形成個該種類型的正交點組.

（3）當(dāng)正三角形為時，點組由形成，點組由形成，所以，共有個正交點組.

（4）當(dāng)中心面為時，點組由形成，共有個正交點組.因為共有個中心面，所以，一共有個該種類型的正交點組.

綜上所述，一共有個正交點組. 選D.