Question

設(shè)數(shù)列{a_n}滿足a₁+2a₂+3a₃+4a₄+…+na_n=n，n∈N^*．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項；
（2）設(shè)b_n=

pn-1

an

（p為非零常數(shù)），求數(shù)列{b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析：（1）由a₁+2a₂+3a₃+4a₄+…+na_n=n，n∈N^*可知，a₁+2a₂+3a₃+4a₄+…+（n-1）a_n-1=n-1，從而可求得數(shù)列{a_n}的通項；
（2）利用錯位相減法即可求得數(shù)列{b_n}的前n項和S_n．

解答：解：（1）∵a₁+2a₂+3a₃+4a₄+…+na_n=n，n∈N^*，①
∴當n≥2時，a₁+2a₂+3a₃+4a₄+…+（n-1）a_n-1=n-1，n∈N^*②
∴①-②得：na_n=1．
∴a_n=

1

n

（n≥2）．又在①中，a₁=1，符合a_n=

1

n

（n≥2）．
∴a_n=

1

n

，n∈N^*．
（2）∵b_n=

pn-1

an

（p為非零常數(shù)），a_n=

1

n

，n∈N^*，
∴b_n=np^n-1，
∴S_n=1+2p+3p²+…+np^n-1，
∴pS_n=p+2p²+…+（n-1）p^n-1+npⁿ，
∴（1-p）S_n=1+p+p²+…+p^n-1-npⁿ=

1-pn

1-p

-npⁿ，
當p=1時，S_n=1+2+…+n=

(1+n)n

2

；
當p≠1時，S_n=

1-pn

(1-p)2

-

npn

1-p

；
∴S_n=

(1+n)n 2 ，n=1 1-pn (1-p)2 - npn 1-p ，n≥2

點評：本題考查數(shù)列的求和，突出錯位相減法求和的考查，考查轉(zhuǎn)化思想與運算能力，屬于中檔題．