Question

設(shè)A（1，0），B（0，1），直線l：y=ax，圓C：（x-a）²+y²=1．若圓C既與線段AB又與直線l有公共點，則實數(shù)a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：直線和圓的方程的應(yīng)用

專題：直線與圓

分析：根據(jù)圓的圓心坐標和半徑，首先分析得到使圓C：（x-a）²+y²=1與線段AB有公共點的a的范圍，再由圓心到直線y=ax的距離小于等于圓的半徑得到實數(shù)a的取值范圍，取交集后得答案．

解答： 解：∵圓C：（x-a）²+y²=1的圓心C（a，0）在x軸上，且圓的半徑等于1，
當(dāng)圓心在A點左側(cè)時，點A，B所在直線方程為x+y-1=0，
由圓心（a，0）到直線x+y-1=0的距離等于1，
得

|a-1|

2

=1，
即|a-1|=

2

，解得a=1-

2

或a=1+

2

（舍），
當(dāng)圓心在A的右側(cè)時，圓交線段AB于A時，a有最大值，此時a=2．
∴圓C：（x-a）²+y²=1與線段AB有公共點的a的范圍是[1-

2

，2]．
要使圓C：（x-a）²+y²=1與直線l：y=ax有公共點，則

|a2|

a2+1

≤1，
即a⁴≤a²+1，
∴a⁴-a²-1≤0，
解得：0≤a2≤

1+ 5

2

，
∴-

1+ 5 2

≤a≤

1+ 5 2

．
∴圓C既與線段AB又與直線l有公共點d的實數(shù)a的取值范圍是[1-

2

，

1+ 5 2

]．
故答案為：[1-

2

，

1+ 5 2

]．

點評：本題考查了直線與圓的方程的應(yīng)用，考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，訓(xùn)練了利用圓心和直線的距離判斷直線與圓的位置關(guān)系，屬中檔題．