Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且S_n=2a_n-2（n=1，2，3…），數(shù)列{b_n}中，b₁=1，點(diǎn)P（b_n，b_n+1）在直線x-y+2=0上．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)a_n和b_n；
（Ⅱ） 設(shè)c_n=a_n•b_n，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n，并求滿(mǎn)足T_n＜55的最大正整數(shù)n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）①“當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁；當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1”，再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出；
②在數(shù)列{b_n}中，b₁=1，點(diǎn)P（b_n，b_n+1）在直線x-y+2=0上．可得b_n+1-b_n=2．再利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．
（2）再利用“錯(cuò)位相減法”即可得出．

解答： 解：（1）①當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=2a₁-2，解得a₁=2．
∵S_n=2a_n-2，
∴當(dāng)n≥2時(shí)，S_n-1=2a_n-1-2．
∴a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2a_n-1，
化為

an

an-1

=2．
∴數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列．
∴an=a1qn-1=2×2^n-1=2ⁿ．
②數(shù)列{b_n}中，b₁=1，點(diǎn)P（b_n，b_n+1）在直線x-y+2=0上．
∴b_n-b_n+1+2=0，即b_n+1-b_n=2．
∴數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，
∴b_n=b₁+（n-1）d=1+2（n-1）=2n-1．
（II）∵c_n=a_n•b_n=（2n-1）•2ⁿ，
∴T_n=1×2¹+3×2²+5×2³+…+（2n-3）•2^n-1+（2n-1）•2ⁿ，
2T_n=1×2²+3×2²+…+（2n-3）×2ⁿ+（2n-1）×2ⁿ⁺¹，
∴-T_n=2+2×（2²+2³+…+2ⁿ）-（2n-1）•2ⁿ⁺¹=2+2×

4×(2n-1-1)

2-1

-(2n-1)•2n+1
=（3-2n）•2ⁿ⁺¹-6，
∴Tn=(2n-3)•2n+1+6．
由T_n＜55可得（2n-3）•2ⁿ⁺¹+6＜55，化為（2n-3）•2ⁿ⁺¹＜49．
當(dāng)n=3時(shí)，左邊=（2×3-3）×2⁴=48＜49=右邊，
而當(dāng)n=4時(shí)，左邊=（2×4-3）×2⁵=5×32＞49=右邊．
因此滿(mǎn)足T_n＜55的最大正整數(shù)n=3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、“錯(cuò)位相減法”等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，屬于難題．