Question

9．對于函數(shù)f（x），若在定義域內(nèi)存在實數(shù)x，滿足f（-x）=-f（x），則稱f（x）為“局部奇函數(shù)”，若f（x）=4^x-m2^x+1+m²-5為定義域R上的“局部奇函數(shù)”，則實數(shù)m的取值范圍是1-$\sqrt{5}$＜m≤2$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 f（x）=4^x-m2^x+1+m²-5是定義在r上的“局部奇函數(shù)”，列出方程，可求出實數(shù)m的取值范圍．

解答 解：f（x）=4^x-m•2^x+1+m²-5，f（-x）+f（x）=0可化為
4^x+4^-x-2m（2^x+2^-x）+2m²-10=0
令t=2^x+2^-x，則t∈[2，+∞），4^x+4^-x=t²-2，
即 t²-2mt+2m²-12=0在[2，+∞）有解，
即可保證f（x）為“局部中心對稱函數(shù)”
令g（t）=t²-2mt+2m²-12
 ①當(dāng)g（2）≤0時，t²-2mt+2m²-12=0在[2，+∞）有解，
由g（2）≤0，即2m²-4m-8≤0，解得1-$\sqrt{5}$≤m≤1+$\sqrt{5}$；
 ②當(dāng)g（2）＞0時，t²-2mt+2m²-12=0在[2，+∞）有解等價于
 $\left\{\begin{array}{l}{△=4{m}^{2}-4（2{m}^{2}-12）≥0}\\{g（2）＞0，m＞2}\end{array}\right.$   解得2＜m≤2$\sqrt{3}$，
綜上，所求實數(shù)m的取值范圍為1-$\sqrt{5}$＜m≤2$\sqrt{3}$．
故答案為：1-$\sqrt{5}$＜m≤2$\sqrt{3}$．

點評 本題考查的知識點是函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，其中正確理解“局部奇函數(shù)”的概念是解答的關(guān)鍵．