Question

設函數f(x)=lnx-

1

2

ax2-bx
（1）當a=b=

1

2

時，求f（x）的最大值．
（2）令F(x)=f(x)+

1

2

ax2+bx+

a

x

(0＜x≤3)，以其圖象上任一點P（x₀，y₀）為切點的切線的斜率k≤

1

2

恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）當a=b=

1

2

時，求出f（x），進而求得f′（x），由f′（x）的符號判斷f（x）的單調性，根據單調性求出f（x）的最大值．
（2）求出F′(x)=

1

x

-

a

x2

=

x-a

x2

，由題意可得 a≥x0-

1

2

x

2 0

在x₀∈（0，3]上恒成立，易知當x₀=1時，x0-

1

2

x

2 0

取得最大值

1

2

，由此求得實數a的取值范圍．

解答：解：（1）當a=b=

1

2

時，f(x)=lnx-

1

4

x2-

1

2

x(x＞0)，
f′(x)=

1

x

-

1

2

x-

1

2

=

-(x+2)(x-1)

2x

易知f（x）在（0，1]上遞增，在[1，+∞）上遞減，故f（x）的最大值為f(1)=-

3

4

．（6分）
（2）F(x)=lnx+

a

x

，F′(x)=

1

x

-

a

x2

=

x-a

x2

．
由題意

x0-a

x 2 0

≤

1

2

，x₀∈（0，3]恒成立，即a≥x0-

1

2

x

2 0

在x₀∈（0，3]上恒成立．
易知當x₀=1時，x0-

1

2

x

2 0

取得最大值

1

2

，
故a≥

1

2

．      （12分）

點評：本題主要考查利用導數求曲線在某點的切線斜率，求二次函數在閉區(qū)間上的最值，利用導數求函數在閉區(qū)間上的最值，屬于中檔題．