Question

19．已知拋物線E：y²=2px（p＞0）的準線與x軸交于點K，過點K作圓（x-5）²+y²=9的兩條切線，切點為M，N，|MN|=3$\sqrt{3}$
（1）求拋物線E的方程；
（2）設A，B是拋物線E上分別位于x軸兩側的兩個動點，且$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=\frac{9}{4}$（其中O為坐標原點）．
①求證：直線AB必過定點，并求出該定點Q的坐標；
②過點Q作AB的垂線與拋物線交于G，D兩點，求四邊形AGBD面積的最小值．

Answer 1

分析 （1）求得K的坐標，圓的圓心和半徑，運用對稱性可得MR的長，由勾股定理和銳角的三角函數(shù)，可得CK=6，再由點到直線的距離公式即可求得p=2，進而得到拋物線方程；
（2）①設出直線方程，聯(lián)立拋物線方程，運用韋達定理和向量的數(shù)量積的坐標表示，化簡整理，即可得到定點Q；
②運用弦長公式和四邊形的面積公式，換元整理，結合基本不等式，即可求得最小值．

解答 （1）解：由已知可得K（-$\frac{p}{2}$，0），圓C：（x-5）²+y²=9的圓心C（5，0），半徑r=3．
設MN與x軸交于R，由圓的對稱性可得|MR|=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$
于是|CR|=$\frac{3}{2}$，
即有|CK|=$\frac{|MC|}{sin∠MKC}=\frac{|MC|}{sin∠CMR}$=6，
即有5+$\frac{p}{2}$=6，解得p=2，則拋物線E的方程為y²=4x；
（2）①證明：設直線AB：x=my+t，A（$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{4}$，y₁），B（$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{4}$，y₂），
聯(lián)立拋物線方程可得y2-4my-4t=0，
y₁+y₂=4m，y₁y₂=-4t，
$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=\frac{9}{4}$，即有$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{4}$•$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{4}$+y₁y₂=$\frac{9}{4}$，
解得y₁y₂=-18或2（舍去），
即-4t=-18，解得t=$\frac{9}{2}$．
則有AB恒過定點Q（$\frac{9}{2}$，0）；
②解：由①可得|AB|=$\sqrt{1+{m}^{2}}$|y₂-y₁|=$\sqrt{1+{m}^{2}}•\sqrt{16{m}^{2}+72}$，
同理|GD|=$\sqrt{1+\frac{1}{{m}^{2}}}•\sqrt{\frac{16}{{m}^{2}}+72}$，
則四邊形AGBD面積S=$\frac{1}{2}$|AB|•|GD|=4$\sqrt{[（2+（{m}^{2}+\frac{1}{{m}^{2}}）][85+18（{m}^{2}+\frac{1}{{m}^{2}}）]}$，
令m²+$\frac{1}{{m}^{2}}$=μ（μ≥2），則S=4$\sqrt{18{μ}^{2}+121μ+170}$是關于μ的增函數(shù)，
則當μ=2時，S取得最小值，且為88．
當且僅當m=±1時，四邊形AGBD面積的最小值為88．

點評 本題考查拋物線的方程和性質，主要考查拋物線方程和直線方程聯(lián)立，運用韋達定理和弦長公式，同時考查直線和圓的位置關系，向量的數(shù)量積的坐標表示，具有一定的運算量，屬于中檔題．