Question

【題目】已知{an}是等差數(shù)列，滿足a1=3，a4=12，數(shù)列{bn}滿足b1=4，b4=20，且{bn﹣an}為等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列{an}和{bn}的通項公式；
（2）求數(shù)列{bn}的前n項和．

Answer 1

【答案】
（1）解：設等差數(shù)列{an}的公差為d，由題意得

d= = =3．

∴an=a1+（n﹣1）d=3n（n=1，2，…）．

∴數(shù)列{an}的通項公式為：an=3n；

設等比數(shù)列{bn﹣an}的公比為q，由題意得：

q3= = =8，解得q=2．

∴bn﹣an=（b1﹣a1）qn﹣1=2n﹣1．

從而bn=3n+2n﹣1（n=1，2，…）．

∴數(shù)列{bn}的通項公式為：bn=3n+2n﹣1

（2）解：由（1）知bn=3n+2n﹣1（n=1，2，…）．

數(shù)列{3n}的前n項和為 n（n+1），數(shù)列{2n﹣1}的前n項和為 =2n﹣1．

∴數(shù)列{bn}的前n項和為 n（n+1）+2n﹣1

【解析】（1）利用等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式先求得公差和公比，即可求數(shù)列的通項公式；（2）利用分組求和的方法求解數(shù)列的和，由等差數(shù)列及等比數(shù)列的前n項和公式即可求解數(shù)列的和．