Question

已知圓G：x²＋y²－2x－y＝0經(jīng)過橢圓＋＝1(a＞b＞0)的右焦點(diǎn)F及上頂點(diǎn)B.過橢圓外一點(diǎn)M(m,0)(m＞a)作傾斜角為π的直線l交橢圓于C，D兩點(diǎn)．

(1)求橢圓的方程；

(2)若右焦點(diǎn)F在以線段CD為直徑的圓E的內(nèi)部，求m的取值范圍．

Answer 1

解　(1)∵圓G：x²＋y²－2x－y＝0經(jīng)過點(diǎn)F，B，

∴F(2,0)，B(0，)，∴c＝2，b＝，

∴a²＝b²＋c²＝6，橢圓的方程為＋＝1.

(2)由題意知直線l的方程為y＝－(x－m)，m＞，

由

消去y，得2x²－2mx＋(m²－6)＝0.

由Δ＝4m²－8(m²－6)＞0，解得－2＜m＜2.

∵m＞，∴＜m＜2.設(shè)C(x₁，y₁)，D(x₂，y₂)，

則x₁＋x₂＝m，x₁x₂＝，

∴y₁y₂＝＝x₁x₂－(x₁＋x₂)＋.

∵＝(x₁－2，y₁). ＝(x₂－2，y₂)，

∴·＝(x₁－2)(x₂－2)＋y₁y₂＝x₁x₂－ (x₁＋x₂)＋＋4＝.

∵點(diǎn)F在圓E內(nèi)部，∴＜0，

即＜0，解得0＜m＜3.

又＜m＜2，∴＜m＜3.

故m的取值范圍是(，3).