Question

已知數列{x_n},{y_n}滿足x₁=x₂=1,y₁=y₂=2，并且（λ為非零參數，n=2,3,4, …）.

（1）若x₁,x₃,x₅成等比數列，求參數λ的值；

（2）當λ＞0時，證明(n∈N^*）；

當λ＞1時，證明(n∈N^*).

Answer 1

思路分析：本題以數列的遞推關系為載體，結合等比數列的等比中項及前n項和的公式，運用不等式的性質及證明等基礎知識進行運算和推理論證.

（1）解：由已知x₁=x₂=1，且

x₃=λ,x₄=λ³,x₅=λ⁶,

若x₁、x₃、x₅成等比數列，則x₃²=x₁x₅，即λ²=λ⁶.而λ≠0，解得λ=±1.

（2）證明：(Ⅰ)由已知λ＞0,x₁=x₂=1及y₁=y₂=2，可得x_n＞0,y_n＞0.由不等式的性質，有=λ^n-1;

另一方面，=λ^n-1.

因此，(n∈N^*).故(n∈N^*).

（Ⅱ）當λ＞1時，由（Ⅰ）可知,y_n＞x_n≥1(n∈N^*).

又由（Ⅰ）(n∈N^*),則,

從而(n∈N^*).因此

.