Question

已知點A（-3，1）是橢圓

x2

36

+

y2

4

=1內的一點，點M為橢圓上的任意一點（除短軸端點外），O為原點．過此點A作直線l與橢圓相交于C、D兩點，且A點恰好為弦CD的中點．再把點M與短軸兩端點B₁、B₂連接起來并延長，分別交x軸于P、Q兩點．
（1）求弦CD的長度；
（2）求證：|OP|•|OQ|為定值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）設C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），則x₁+x₂=-6，y₁+y₂=2，利用點差法得直線CD：x-3y+6=0，由此能求出|CD|．
（2）設M（x₀，y₀），P（p，0），Q（q，0）．由直線方程的截距式及M，P，B₁三點共線，得p=

2x0

2+y0

，同理q=

2x0

2-y0

．由此能證明|OP|•|OQ|為定值36．

解答： （1）解：設C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），則x₁+x₂=-6，y₁+y₂=2，
把C（x₁，y₁），D（x₂，y₂）代入x²+9y²=36，得：

x12+9y12=36 x22+9y22=36

，兩式相減，得：-6（x₁-x₂）+18（y₁-y₂）=0，
∴k_CD=

y1-y2

x1-x2

=

1

3

，∴直線CD：y-1=

1

3

(x+3)，即x-3y+6=0，
聯立

x-3y+6=0 x2 36 + y2 4 =1

，得y²-2y=0，解得

y=0 x=-6

，或

y=2 x=0

，
∴|CD|=

36+4

=2

10

．
（2）證明：設M（x₀，y₀），P（p，0），Q（q，0）．
由直線方程的截距式及M，P，B₁三點共線，
得：

x0

p

-

y0

2

=1，∴p=

2x0

2+y0

，
同理q=

2x0

2-y0

．
∴|OP|•|OQ|=|pq|=

4x0

4-y02

，
由橢圓方程，得x02=

36(4-y02)

4

，
∴|OP||OQ|=36，
∴|OP|•|OQ|為定值36．

點評：本題考查線段長的求法，考查兩線段乘積為定值的證明，解題時要認真審題，注意點差法的合理運用．