Question

【題目】已知函數(shù)f（x）= ，數(shù)列{an}滿足a1=1，an+1=f（ ），n∈N* ．
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）令bn= （n≥2），b1=3，Sn=b1+b2++bn ， 若Sn＜ 對(duì)一切n∈N*成立，求最小正整數(shù)m．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）= ，數(shù)列{an}滿足a1=1，

∴ = ，

∴{an}是首項(xiàng)為1，公差為 的等差數(shù)列，

∴ ．

（2）解：當(dāng)n≥2時(shí)，

bn= = = ，

當(dāng)n=1時(shí)，b1=3，代入上式成立，

∴Sn=b1+b2++bn

=

= ，

∵Sn＜ ，∴ 對(duì)一切n∈N*成立，

又 沿n遞增，且 ，

∴ ，∴m≥2013，

∴最小正整數(shù)m為2013．

【解析】（1）由已知條件得 = ，由此能求出 ．（2）當(dāng)n≥2時(shí)，bn= = = ，當(dāng)n=1時(shí)，b1=3，代入上式成立，由此利用裂項(xiàng)求和法結(jié)合已知條件得到 對(duì)一切n∈N*成立，由此能求出最小正整數(shù)m為2013．
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用數(shù)列的前n項(xiàng)和，掌握數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系即可以解答此題．