某市重點中學高三年級舉行的一次統(tǒng)考中,共有4000名考生,數(shù)學科共抽調了57名教師集中閱卷,決定將這些教師分成兩組.第一組老師專門閱客觀題(指選擇題與填空題),第二組老師專門閱主觀題(指解答題).已知閱完1份客觀題需要30秒鐘,閱完1份主觀題需要8分鐘,為了在最短時間內完成閱卷任務,應如何將這些教師分組?最短的閱卷時間是多少小時(精確到0.1小時)?

答案:
解析:

  熱點分析  如果僅從閱兩種試題的時間比“8:0

  熱點分析  如果僅從閱兩種試題的時間比“8:0.5=16”來分配教師,過于粗糙,而且也不一定能得到正確答案,因為閱卷時間是人數(shù)的函數(shù),應該從函數(shù)角度分析問題.

  解答  設第一組安排x名教師閱卷,則第二組安排57-x人閱卷,兩組完成任務的時間分別為t1、t2,

  則t1(min),t2(min)(1≤x≤57),

  ∴t1是x的減函數(shù),t2是x的增函數(shù),

  令t1=t2x0=3,

  ∴閱卷時間T=f(x)=max{t1,t2}=

  ∴當x=x0時f(x)取極小值,

  ∴當x=3或4時f(x)最小.

  ∵f(3)=t1≈667(min),f(4)=t2≈604(min),

  ∴第一組安排4名教師,第二組安排53名教師,閱卷時間最短,最短閱卷時間為10.1小時.

  評析  用函數(shù)思想解決應用問題是中學數(shù)學中解決應用問題的最重要思想之一,從這種思想出發(fā)首先要抓住問題中的各個量之間的關系建立“函數(shù)模型”,即函數(shù)的解析式(包括定義域),然后通過討論函數(shù)的單調性、極值、最值等途徑解決.


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