Question

已知a∈R，a≠1，函數(shù)f(x)=

ax+1

x+1

（1）判斷函數(shù)在區(qū)間（-1，+∞）上的單調(diào)性，并用定義證明你的結(jié)論；
（2）求函數(shù)在[1，4]上的最值．

Answer 1

分析：（1）任取-1＜x₁＜x₂，則f（x₁）-f（x₂）=

ax1+1

x1+1

-

ax2+1

x2+1

=

(ax1+1)(x2+1)-(ax2+1)(x1+1)

(x1+1)(x2+1)

=

(a-1)(x1-x2)

(x1+1)(x2+1)

，由此式展開討論，可得結(jié)果；
（2）利用（1）的結(jié)論，結(jié)合最值的定義，易得答案．

解答：解：（1）當(dāng)a＞1時(shí)，a-1＞0，f（x₁）-f（x₂）＜0，函數(shù)f（x）為增函數(shù)；
當(dāng)a＜1時(shí)，a-1＜0，f（x₁）-f（x₂）＞0，函數(shù)f（x）為減函數(shù)．
下面證明：
任取-1＜x₁＜x₂，則f（x₁）-f（x₂）=

ax1+1

x1+1

-

ax2+1

x2+1

=

(ax1+1)(x2+1)-(ax2+1)(x1+1)

(x1+1)(x2+1)

=

(a-1)(x1-x2)

(x1+1)(x2+1)

，
∵-1＜x₁＜x₂，∴x₁+1＞0，x₂+1＞0，x₁-x₂＜0
故當(dāng)a＞1時(shí)，a-1＞0，f（x₁）-f（x₂）＜0，函數(shù)f（x）為增函數(shù)；
當(dāng)a＜1時(shí)，a-1＜0，f（x₁）-f（x₂）＞0，函數(shù)f（x）為減函數(shù)．
（2）由（1）可知：當(dāng)a＞1時(shí)，函數(shù)f（x）為增函數(shù)；當(dāng)a＜1時(shí)，函數(shù)f（x）為減函數(shù)．
故當(dāng)a＞1時(shí)，函數(shù)f（x）在[1，4]上的最小值為f（1）=

a+1

2

，最大值為f（4）=

4a+1

5

；
當(dāng)a＜1時(shí)，函數(shù)f（x）在[1，4]上的最大值為f（1）=

a+1

2

，最小值為f（4）=

4a+1

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題為函數(shù)的簡(jiǎn)單應(yīng)用：（1）為定義法證明函數(shù)的單調(diào)性，（2）為利用（1）的結(jié)論來(lái)求最值，兩步均需注意分類討論．