Question

如圖,F₁、F₂是離心率為的橢圓C：(a＞b＞0)的左、右

焦點(diǎn),直線：x＝－1將線段F₁F₂分成兩段,其長(zhǎng)度之比為1 ^: 3.設(shè)A、B是橢圓C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),線段AB的中垂線與橢圓C交于P、Q兩點(diǎn),線段AB的中點(diǎn)M在直線l上．

（I）求橢圓C的方程；

（II）求的取值范圍．

 

Answer 1

(Ⅰ) 設(shè)F₂(c，0)，則

＝，

所以

c＝2．

因?yàn)殡x心率e＝，   所以a＝．

所以橢圓C的方程為

．                  ………… 6分

(Ⅱ) 當(dāng)直線AB垂直于x軸時(shí)，直線AB方程為x＝－1，此時(shí)P(，0)、Q(,0)

．

當(dāng)直線AB不垂直于x軸時(shí)，設(shè)直線AB的斜率為k，M(－1，m) (m≠0)，A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)．

由  得      (x₁＋x₂)＋2(y₁＋y₂)＝0，

則     －1＋2mk＝0，       故k＝．             ………… 8分

此時(shí)，直線PQ斜率為，PQ的直線方程為

． 即          ．

聯(lián)立 消去y，整理得

                ．

所以                  ，．………… 10分