Question

8．已知雙曲線的焦點在x軸上，焦距為2$\sqrt{5}$，且雙曲線的一條漸近線與直線x-2y+1=0平行，則雙曲線的標準方程為（　�。�

• A． $\frac{{x}^{2}}{4}$-y²=1
• B． x²-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1
• C． $\frac{3{x}^{2}}{20}$-$\frac{3{y}^{2}}{5}$=1
• D． $\frac{3{x}^{2}}{5}$-$\frac{3{y}^{2}}{20}$=1

Answer 1

分析 設雙曲線的標準方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞0，b＞0），由2c=2$\sqrt{5}$，則c=$\sqrt{5}$，由雙曲線的一條漸近線與直線x-2y+1=0平行，即$\frac{a}$=$\frac{1}{2}$，c²=a²+b²，即可求得a和b的值，即可求得雙曲線的標準方程．

解答 解：由題意可知：設雙曲線的標準方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞0，b＞0），由2c=2$\sqrt{5}$，則c=$\sqrt{5}$，
雙曲線的一條漸近線與直線x-2y+1=0平行，即$\frac{a}$=$\frac{1}{2}$，
由c²=a²+b²，解得：a=2，b=1，
∴雙曲線的標準方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}-{y}^{2}=1$，
故選A．

點評 本題考查雙曲線的標準方程及簡單幾何性質，考查計算能力，屬于基礎題．