Question

某制造商制造并出售球形瓶裝的某種飲料，瓶子的制造成本與瓶子的半徑r的平方成正比，且r=1cm時(shí)，制造成本為0.8π分．已知每出售1ml的飲料，制造商可獲利0.2分，且制造商制作的瓶子的最大半徑為6cm，設(shè)每瓶飲料的利潤(rùn)為y分，（半徑r的單位是cm）．
（1）寫出出售每瓶飲料可得利潤(rùn)的關(guān)系式；
（2）求制造商制造并出售100瓶該飲料所獲得的最大利潤(rùn)（結(jié)果用含π的式子表示）．

Answer 1

分析：（1）設(shè)瓶子的制造成本與瓶子的半徑r的平方成正比的比例系數(shù)等于k，根據(jù)r=1cm時(shí)，制造成本為0.8π分求出k的值，從而得到每瓶飲料可得利潤(rùn)的關(guān)系式；
（2）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，從而求出函數(shù)的最大值，最后將每瓶飲料可得最大利潤(rùn)乘以100即可求出所求．

解答：解：（1）設(shè)瓶子的制造成本與瓶子的半徑r的平方成正比的比例系數(shù)等于k，
則瓶子的制造成本為kr²，
∵r=1cm時(shí)，制造成本為0.8π分，
∴k=0.8π，即瓶子的制造成本為0.8πr²，
由于瓶子的半徑為rcm，每出售1ml的飲料，制造商可獲利0.2分，且制造商制作的瓶子的最大半徑為6cm，
∴每瓶飲料的利潤(rùn)是y=f（r）=0.2×

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πr³-0.8πr²，0＜r≤6，
（2）令f′（r）=0.8πr²-0.8πr=0，則r=1，
當(dāng)r∈（0，1）時(shí)，f′（r）＜0；
當(dāng)r∈（1，6）時(shí)，f′（r）＞0．
∴函數(shù)y=f（r）在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，6）上單調(diào)遞增，
∴r=6時(shí)，每瓶飲料的利潤(rùn)最大，則制造商制造并出售100瓶該飲料所獲得的最大利潤(rùn)為100×28.8π=2880π分．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)模型的建立，考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，確定函數(shù)的模型是解題的關(guān)鍵．同時(shí)考查了分析問(wèn)題的能力，屬于中檔題．