Question

如圖，某公園摩天輪的半徑為40m，點(diǎn)O距地面的高度為50m，摩天輪做勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，每3min轉(zhuǎn)一圈，摩天輪上的點(diǎn)P的起始位置在最低點(diǎn)處．
（Ⅰ）已知在時(shí)刻t（min）時(shí)點(diǎn)P距離地面的高度f(wàn)（t）=Asin（ωt+φ）+h，求2006min時(shí)點(diǎn)P距離地面的高度；
（Ⅱ）當(dāng)離地面50+20

3

m以上時(shí)，可以看到公園的全貌，求轉(zhuǎn)一圈中有多少時(shí)間可以看到公園全貌？

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換,由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式

專(zhuān)題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）由題意求出A、h和T的值，結(jié)合f（0）=10求得φ的值，則函數(shù)解析式可求，取t=2006求得2006min時(shí)點(diǎn)P距離地面的高度；
（Ⅱ）化簡(jiǎn)f（t），由f(t)＞50+20

3

求出t的取值范圍，由t的區(qū)間端點(diǎn)值的差求得一圈中可以看到公園全貌的時(shí)間．

解答： 解：（Ⅰ）依題意，A=40，h=50，T=3，
則ω=

2π

3

，且f（0）=10，故φ=-

π

2

，
∴f(t)=40sin(

2π

3

t-

π

2

)+50（t≥0）．
則f(2006)=40sin(

2π

3

×2006-

π

2

)+50=70．
故第2006min時(shí)點(diǎn)P所在位置與第2min時(shí)點(diǎn)P所在位置相同，即從起點(diǎn)轉(zhuǎn)過(guò)

2

3

圈，其高度為70m．
（Ⅱ）由（1）知f(t)=40sin(

2π

3

t-

π

2

)+50=50-40cos

2π

3

t（t≥0）．
依題意：f(t)＞50+20

3

，
∴-40cos

2π

3

t＞20

3

，cos

2π

3

t＜-

3

2

，
2kπ+

5π

6

＜

2π

3

t＜2kπ+

7π

6

，k∈N，3k+

5

4

＜t＜3k+

7

4

．
∵3k+

7

4

-(3k+

5

4

)=

1

2

=0.5，
∴轉(zhuǎn)一圈中有0.5min鐘時(shí)間可以看到公園全貌．

點(diǎn)評(píng)：本題考查y=Asin（ωx+φ）型函數(shù)解析式的求法，考查了三角不等式的解法，是比較基礎(chǔ)題．