Question

奇函數f（x）在{x|x≠0}上有定義，且在區(qū)間（0，+∞）上是增函數，f（2）=0，又函數g（t）=-t²+mt+3-2m，t∈[0，1]，則使函數g（t），f（g（t））同取正值的m的范圍_________．

Answer 1

解：由題意可得，當t∈[0，1]時，函數g（t）=-t²+mt+3-2m＞0恒成立，
∴g（0）=3-2m＞0，且g（1）=2-m＞0，解得 m＜．
由奇函數f（x）在區(qū)間（0，+∞）上是增函數，f（2）=0，可得f（-2）=0，且f（x）在（-∞，0）上也是增函數．
要使f（g（t））＞0，必須-2＜g（t）＜0（舍去），或g（t）＞2． 即-t²+mt+3-2m＞2在[0，1]，恒成立，即 t²-mt+2m-1＜0在[0，1]，恒成立．
∴，解得 m＜0．
綜上，使函數g（t），f（g（t））同取正值的m的范圍是 {m|m＜}∪{m|m＜0 }={m|m＜0 }，
故答案為 {m|m＜0 }．
分析：由題意可得，當t∈[0，1]時，函數g（t）=-t²+mt+3-2m＞0恒成立，故 g（0）=3-2m＞0，且g（1）=2-m＞0，由此解得 m的范圍．要使f（g（t））＞0，必須-2
＜g（t）＜0（舍去），或g（t）＞2，即 t²-mt+2m-1＜0在[0，1]，恒成立．由，解得 m的范圍．再把這兩個 m的范圍取交集，即得所求．
點評：本題主要考查二次函數的性質，求二次函數在閉區(qū)間上的最值，函數的恒成立問題，屬于中檔題．