Question

已知函數(shù)f(x)=

x2-2x

ex

，下列說法中正確的有

（1）（3）

．
（1）f（x）在R上有兩個(gè)極值點(diǎn)；       
（2）f（x）在x=2+

2

處取得最大值；
（3）f（x）在x=2-

2

處取得最小值； 
（4）f（x）在x=2+

2

處取得極小值
（5）函數(shù)f（x）在R上有三個(gè)不同的零點(diǎn)．

Answer 1

分析：依題意，可求得f′（x）=

-x2+4x-2

ex

，利用f′（x）=0可判斷（1），利用f（x）=0可判斷（5），利用導(dǎo)數(shù)判斷該函數(shù)的單調(diào)情況，從而可判斷（2）（3）（4）．

解答：解：∵f′（x）=

(2x-2)ex-(x2-2x)ex

e2x

=

-x2+4x-2

ex

，
∴由f′（x）=0得：x=2-

2

或x=2+

2

．
∴（1）f（x）在R上有兩個(gè)極值點(diǎn)，正確；
又當(dāng)x=0或x=2時(shí)，f（x）=0，
∴函數(shù)f（x）在R上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，故（5）錯(cuò)誤；
由f′（x）＞0得2-

2

＜x＜2+

2

；
由f′（x）＜0得x＜2-

2

或x＞2+

2

．
∴函數(shù)f（x）=

x2-2x

ex

在（-∞，2-

2

），（2+

2

，+∞）上單調(diào)遞減，在（2-

2

，2+

2

）上單調(diào)遞增；
∴f（x）在x=2-

2

處取得極小值，在x=2+

2

處取得極大值，故（4）錯(cuò)誤；
又f（2-

2

）＜0，f（2+

2

）＞0，
∴f（x）在x=2-

2

處取得最小值，f（x）在x=2+

2

取不到最大值，故（3）正確，（2）錯(cuò)誤；
綜上所述，（1）（3）正確．
故答案為：（1）（3）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，考查根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷，考查分析與運(yùn)算的能力，屬于中檔題．