Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a1=1，a2=4，an+2+2an=3an+1(n∈N*)．
（1）求證：數(shù)列{a_n+1-a_n}是等比數(shù)列，并求{a_n}的通項公式；
（2）記數(shù)列{a_n}的前n項和S_n，求使得S_n＞21-2n成立的最小整數(shù)n．

Answer 1

分析：（1）由a_n+2+2a_n-3a_n+1=0，得a_n+2-a_n+1=2（a_n+1-a_n），數(shù)列{a_n+1-a_n}就以a₂-a₁=3不首項，公比為2的等比數(shù)列，由此能夠求出數(shù)列{a_n}的通項公式．
（2）利用分組求和法得S_n=3（2ⁿ-1）-2n＞21-2n，由眥能求出使得S_n＞21-2n成立的最小整數(shù)．

解答：（1）證明：a1=1，a2=4，an+2+2an=3an+1(n∈N*)
∴a_n+2-a_n+1=2（a_n+1-a_n），a₂-a₁=3
∴數(shù)列{a_n+1-a_n}是以3為首項，公比為2的等比數(shù)列，
∴a_n+1-a_n=3•2^n-1（3分）
∴n≥2時，
a_n-a_n-1=3•2^n-2，
an-1-an-2=3•2n-3
…
a₃-a₂=3•2，
a₂-a₁=3，
以上n-1個式子累加得a_n-a₁=3•2^n-2+3•2^n-3+…+3•2+3=3（2^n-1-1）
∴a_n=3•2^n-1-2
當(dāng)n=1時，a1=3•20-2=1也滿足
從而可得an=3•2n-1-2（6分）
（2）解：由（1）利用分組求和法得
S_n=（3•2⁰-2）+（3•2¹-2）+…（3•2^n-1-2）
=3（2⁰+2¹+…+2^n-1）-2n
=3×

1-2n

1-2

-2n
=3（2ⁿ-1）-2n（9分）
S_n=3（2ⁿ-1）-2n＞21-2n，
得3•2ⁿ＞24，即2ⁿ＞8=2³，
∴n＞3
∴使得S_n＞21-2n成立的最小整數(shù)4．（12分）

點評：本題主要考查了利用利用數(shù)列的遞推公式構(gòu)造等比數(shù)列求解數(shù)列的通項公式，累加法的應(yīng)用是求解通項的關(guān)鍵，分組求和及等比數(shù)列的求和公式的應(yīng)用是解答（2）的關(guān)鍵