Question

如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是邊長為2的正三角形，側(cè)棱垂直于底面，側(cè)棱長為

3

，D為棱AC的中點．
（Ⅰ）求證：B₁C∥平面A₁BD；
（Ⅱ）求二面角A₁-BD-A的大�。�

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）連接AB₁交A₁B于點O，連接OD，由OD為△AB₁C中B₁C邊上的中位線，能證明B₁C∥平面ABD．
（Ⅱ）由已知條件推導(dǎo)出BD⊥AC，平面ABC⊥平面ACC₁A₁，BD⊥平面ACC₁A₁，從而得到∠A₁DA為二面角A₁-BD-A的平面角，由此能求出二面角A₁-BD-A的大�。�

解答： 解：（Ⅰ）連接AB₁交A₁B于點O，連接OD，
則OD為△AB₁C中B₁C邊上的中位線
所以O(shè)D∥B₁C
又OD⊆平面ABD，B₁C?平面ABD，
所以B₁C∥平面ABD．
（Ⅱ）因為△ABC為等邊三角形，D為AC中點，所以BD⊥AC
由側(cè)棱垂直于底面知，三棱柱為直三棱柱，
所以平面ABC⊥平面ACC₁A₁
又平面ABC∩平面ACC₁A₁=AC，BD⊆平面ABC
所以BD⊥平面ACC₁A₁，又AD⊆平面ACC₁A₁，A₁D⊆平面ACC₁A₁
所以AD⊥BD，A₁D⊥BD，
故∠A₁DA為二面角A₁-BD-A的平面角
由AC=2，AA1=

3

，知在Rt△A₁BA中，
tan∠A1DA=

A1A

AD

=

3

1

=

3

所以∠A1DA=

π

3

，
故所求二面角的大小為

π

3

．

點評：本題考查直線與平面平等的證明，考查二面角的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．