Question

已知函數(shù)f（x）=lnx，函數(shù)y=g（x）為函數(shù)f（x）的反函數(shù)．
（Ⅰ）當(dāng)x＞1時(shí)，g（x）＞ax+1恒成立，求a的取值范圍；
（Ⅱ）對(duì)于x＞0，均有f（x）≤bx≤g（x），求b的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：反函數(shù),函數(shù)的最值及其幾何意義

專(zhuān)題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）轉(zhuǎn)化導(dǎo)數(shù)大于等于0恒成立，得到a的表達(dá)式，求出a的最大值即可．
（Ⅱ）對(duì)于x＞0，均有f（x）≤bx≤g（x），轉(zhuǎn)化為

lnx

x

≤b≤

ex

x

，分別令F（ x）=

lnx

x

，G（x）=

ex

x

，分別利用導(dǎo)數(shù)求出F（ x）_max=F（e）=

1

e

，G（ x）_min=G（1）=e，問(wèn)題得以解決．

解答： 解（Ⅰ）由y=lnx解得x=e^y，即：y=e^x
∵x＞0，∴y∈R
所以函數(shù)f（x）=lnx（x＞0）反函數(shù)為y=e^x（x∈R）
∴g（x）=e^x，
∵x＞1時(shí)，g（x）＞ax+1恒成立
∴a＜

ex

x

-

1

x

令h（x）=

ex

x

-

1

x

，
則h′（x）=

ex(x-1)

x2

+

1

x2

，
∴h′（x）=

ex(x-1)

x2

+

1

x2

＞0恒成立，
∴h（x）在（1，+∞）為單調(diào)遞增函數(shù)，
∴h（x）_min=h（1）=e-1
故a的取值范圍為（-∞，e-1]
（Ⅱ）∵x＞0，均有f（x）≤bx≤g（x），
∴l(xiāng)nx≤bx≤e^x，
即

lnx

x

≤b≤

ex

x

令F（ x）=

lnx

x

，
則F′（ x）=

1-lnx

x2

，
當(dāng)x∈（0，e），F(xiàn)′（ x）＞0，F(xiàn)（x）單調(diào)遞增，
當(dāng)x∈（e，+∞），F(xiàn)′（ x）＜0，F(xiàn)（x）單調(diào)遞減，
故當(dāng)x=e時(shí)，F(xiàn)（ x）_max=F（e）=

1

e

，
再G（x）=

ex

x

，
則G′（x）=

ex(x-1)

x2

，
當(dāng)x∈（1，+∞），G′（ x）＞0，G（x）單調(diào)遞增，
當(dāng)x∈（0，1），G′（ x）＜0，G（x）單調(diào)遞減，
故當(dāng)x=1時(shí)，G（ x）_min=G（1）=e，
故

1

e

≤b≤e，
故b的取值范圍為[

1

e

，e]

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的最值，考查恒成立問(wèn)題，考查分類(lèi)討論思想，考查學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)解決問(wèn)題的能力．