Question

8．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，滿足$\frac{a}{sinA}$=$\frac{\sqrt{3}cosB}$．
（Ⅰ）求角B的值；
（Ⅱ）若b=3，求a+c的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）已知等式結(jié)合正弦定理化簡求出tanB的值，即可確定出角B的值；
（Ⅱ）由b與sinB的值，利用正弦定理表示出a與c，代入a+c中，利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個角的正弦函數(shù)，根據(jù)正弦函數(shù)的值域求出a+c的范圍即可．

解答 解：（Ⅰ）由正弦定理及已知等式得：$\frac{a}{sinA}$=$\frac{\sqrt{3}cosB}$=$\frac{sinB}$，即$\sqrt{3}$cosB=sinB，
∴tanB=$\sqrt{3}$，
∵B為三角形內(nèi)角，
∴B=$\frac{π}{3}$；
（Ⅱ）∵b=3，sinB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
由正弦定理$\frac{a}{sinA}$=$\frac{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$=$\frac{3}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∴a=2$\sqrt{3}$sinA，c=2$\sqrt{3}$sinC，
∴a+c=2$\sqrt{3}$sinA+2$\sqrt{3}$sinC=2$\sqrt{3}$[sinA+sin（$\frac{2π}{3}$-A）]=6sin（A+$\frac{π}{6}$），
∵$\frac{π}{6}$＜A+$\frac{π}{6}$＜$\frac{5π}{6}$，∴$\frac{1}{2}$＜sin（A+$\frac{π}{6}$）≤1，
∴3＜a+c≤6，
當且僅當A=$\frac{π}{3}$時，等號成立，
則a+c的范圍為（3，6]．

點評 此題考查了正弦定理，正弦函數(shù)的定義域與值域，熟練掌握正弦定理是解本題的關(guān)鍵．