Question

設α、β均是銳角，試尋找成立的充要條件，并化簡

（1+tan1°）(1+tan2°)…(1+tan44°)(1+tan45°)．

 

Answer 1

答案：
解析：

先設(1+tanα)(1+tanβ)=2成立．展開左邊整理得     tanα+tanβ=1－tanαtanβ．     ∵α、β均是銳角，tanα+tanβ>0，     ∴1－tanαtanβ≠0，從而tan(α+β)==1，     ∵0<α+β<π，∴α+β=，     反之，當α+β=時，把以上證明逆推，則得出：(1+tanα)(1+tanβ)=2．     故當α、β為銳角時，上式成立的充要條件為α+β=．利用這一結果得(1+tan1°)(1+tan2°)…(1+tan44°)(1+tan45°)=223．