Question

已知正實(shí)數(shù)a、b、c滿(mǎn)足條件a+b+c=3．
（Ⅰ）求證：

a

+

b

+

c

≤3；
（Ⅱ）若c=ab，求c的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：二維形式的柯西不等式

專(zhuān)題：選作題,不等式

分析：（I）利用柯西不等式得（a²+b²+c²）（m²+n²+p²）≥（am+bn+cp）²得（

a

+

b

+

c

）²≤（a+b+c）（1+1+1），代入已知a+b+c=3即得；
（Ⅱ）由a+b≥2

ab

，a+b+c=3，得2

ab

+c≤3，若c=ab，由（I）得2

c

+c≤3，從而得出c≤1即得．

解答： （Ⅰ）證明：由柯西不等式得（

a

+

b

+

c

）²≤（a+b+c）（1+1+1）
代入已知a+b+c=3，
∴（

a

+

b

+

c

）²≤9，
∴

a

+

b

+

c

≤3，
當(dāng)且僅當(dāng)=b=c=1，取等號(hào)．
（Ⅱ）解：由a+b≥2

ab

，a+b+c=3，
得2

ab

+c≤3，
若c=ab，則2

c

+c≤3，
∴

c

≤1，
即c≤1，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=1時(shí)，
∴c有最大值1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了一般形式的柯西不等式．證明不等式時(shí)，關(guān)鍵是如何湊成能利用一般形式的柯西不等式的形式，注意重要不等式中等號(hào)成立的條件．