Question

13．已知矩陣M=$[{\begin{array}{l}1&0\\ 0&{\frac{1}{3}}\end{array}}]$
（1）求矩陣M的逆矩陣M^-1；
（2）求曲線|x|+|y|=1在矩陣M=$[{\begin{array}{l}1&0\\ 0&{\frac{1}{3}}\end{array}}]$對應的變換作用下得到的曲線C方程；
（3）求曲線C所圍成圖形的面積．

Answer 1

分析 （1）利用初等變換能求出矩陣M的逆矩陣M^-1．
（2）將曲線|x|+|y|=1在矩陣M=$[{\begin{array}{l}1&0\\ 0&{\frac{1}{3}}\end{array}}]$對應的變換作用進行化簡，能求出曲線C的方程．
（3）作出曲線C所圍成的圖形即可得到結論．

解答 解：（1）∵M=$[{\begin{array}{l}1&0\\ 0&{\frac{1}{3}}\end{array}}]$，
∴[M|I]=$[\begin{array}{l}{1}&{0}&{\;}&{1}&{0}\\{0}&{\frac{1}{3}}&{\;}&{0}&{1}\end{array}]$→$[\begin{array}{l}{1}&{0}&{\;}&{1}&{0}\\{0}&{1}&{\;}&{0}&{3}\end{array}]$，
∴矩陣M的逆矩陣M^-1=$[\begin{array}{l}{1}&{0}\\{0}&{3}\end{array}]$．
（2）設曲線|x|+|y|=1上（x₀，y₀）在矩陣M=$[{\begin{array}{l}1&0\\ 0&{\frac{1}{3}}\end{array}}]$
對應的變換作用下得到的曲線對應點為（x，y），
∴$[\begin{array}{l}{1}&{0}\\{0}&{\frac{1}{3}}\end{array}]$$[\begin{array}{l}{{x}_{0}}\\{{y}_{0}}\end{array}]$=$[\begin{array}{l}{x}\\{y}\end{array}]$，即x₀=x，y₀=3y，
代入|x|+|y|=1中得：|x|+|3y|=1，
∴曲線C方程為：|x|+|3y|=1．
（3）∵|x|+|3y|=1，
∴當x≥0，y≥0時，方程等價于x+3y=1；
當x≥0，y≤0時，方程等價于x-3y=1；
當x≤0，y≥0時，方程等價于-x+3y=1；
當x≤0，y≤0時，方程等價于-x-3y=1，
其圖象為菱形ABCD，
則曲線C所圍成圖形的面積為S=$\frac{1}{2}$×2×$\frac{2}{3}$=$\frac{2}{3}$．

點評 此題考查了幾種特殊的矩形變換，確定出變換后的曲線方程是解本題的關鍵，是中檔題．