Question

某廠家擬在2010年舉行促銷活動(dòng)，經(jīng)調(diào)查測算，該產(chǎn)品的年銷售量（即該廠的年產(chǎn)量）x萬件與年促銷費(fèi)用m萬元（m≥0）滿足x=3-（k為常數(shù)），如果不搞促銷活動(dòng)，則該產(chǎn)品的年銷售量只能是1萬件．已知2010年生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定投入為8萬元，每生產(chǎn)1萬件該產(chǎn)品需要再投入16萬元，廠家將每件產(chǎn)品的銷售價(jià)格定為每件產(chǎn)品年平均成本的1.5倍（產(chǎn)品成本包括固定投入和再投入兩部分資金）．
（1）將2010年該產(chǎn)品的利潤y萬元表示為年促銷費(fèi)用m萬元的函數(shù)；
（2）該廠家2010年的促銷費(fèi)用投入多少萬元時(shí)，廠家的利潤最大．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意可知當(dāng)m=0時(shí)，x=1由滿足x=3-，即可得出k值，從而得出每件產(chǎn)品的銷售價(jià)格，從而得出2010年的利潤的表達(dá)式即可；
（2）對(duì)于（1）中求得的解析式，根據(jù)其中兩項(xiàng)之積為定值結(jié)合利用基本不等式此函數(shù)的最大值及相應(yīng)的x值，從而解決該廠家2010年的促銷費(fèi)用投入多少萬元時(shí)，廠家的利潤最大．
解答：解：（1）由題意可知當(dāng)m=0時(shí)，x=1（萬件），
∴1=3-k⇒k=2．（2分）
∴x=3-．
每件產(chǎn)品的銷售價(jià)格為1.5×（元），（4分）
∴2010年的利潤y=x•-（8+16x+m）（6分）
=4+8x-m=4+8-m
=-+29（m≥0）．（8分）
（2）∵m≥0時(shí)，+（m+1）≥2=8，（12分）
∴y≤-8+29=21，當(dāng)且僅當(dāng)=m+1⇒m=3（萬元）時(shí)，
y_max=21（萬元）．（15分）
所以當(dāng)該廠家2010年的促銷費(fèi)用投入3萬元時(shí)，廠家的利潤最大．（15分）
點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用、基本不等式的應(yīng)用等基礎(chǔ)知識(shí)，考查學(xué)生分析問題和解決問題的能力，屬于基礎(chǔ)題．