Question

如圖，四面體ABCD中，O、E分別是BD、BC的中點(diǎn)，AB=AD=

2

，CA=CB=CD=BD=2，
（1）求證：BD⊥AC；
（2）求三棱錐E-ADC的體積．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）連接OC，由BO=DO，AB=AD，知AO⊥BD，由BO=DO，BC=CD，知CO⊥BD，證明直線BD⊥平面AOC，即可證明BD⊥AC；
（2）證明AO即為棱錐的高，根據(jù)等積法可得V_E-ACD=V_A-CDE，代入棱錐的體積公式，可得答案．

解答： （1）證明：連接OC，∵BO=DO，AB=AD，
∴AO⊥BD，
∵BO=DO，BC=CD，∴CO⊥BD．
∵AO⊥BD，CO⊥BD，AO∩OC=O，
∴直線BD⊥平面AOC，
∵AC?平面AOC，
∴BD⊥AC；
（2）解：在△AOC中，由已知可得AO=1，CO=

3

，而AC=2，
∴AO²+CO²=AC²，
∴∠AOC=90°，
即AO⊥OC．
又AO⊥BD，BD∩OC=O，BD，OC?平面BCD
∴AO⊥平面BCD．
在△ACD中，CA=CD=2，AD=

2

，
∴AO=1，S_△CDE=

1

2

×

3

4

×22=

3

2

，
∴V_E-ACD=V_A-CDE=

1

3

•S_△CDE•AO=

3

6

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是直線與平面垂直的判定，棱錐的體積公式，熟練掌握空間直線與直線垂直與直線與平面垂直相互之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系是解答的關(guān)鍵．