Question

已知橢圓的焦點(diǎn)為，，且經(jīng)過點(diǎn).

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）設(shè)過的直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，問在橢圓上是否存在一點(diǎn)，使四邊形為平行四邊形，若存在，求出直線的方程，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）橢圓的方程為；（Ⅱ）存在符合條件的直線的方程為：．

【解析】

試題分析：（Ⅰ）已知橢圓的焦點(diǎn)為，，且經(jīng)過點(diǎn)，求橢圓的方程，顯然，而正好是過焦點(diǎn)，且垂直于軸的弦的端點(diǎn)，故，再由，解出即可；（Ⅱ）設(shè)過的直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，問在橢圓上是否存在一點(diǎn)，使四邊形為平行四邊形，若存在，求出直線的方程，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由，此題是探索性命題，一般都是假設(shè)存在符合條件的點(diǎn)，根據(jù)題意，若能求出直線的方程，就存在，若不能求出直線的方程，就不存在，此題設(shè)直線的方程為，代入方程得的中點(diǎn)為 ， 由于四邊形為平行四邊形，與的中點(diǎn)重合，得點(diǎn)坐標(biāo)，代入橢圓方程求出的值，從而得存在符合條件的直線的方程為：．

試題解析：（Ⅰ）                        3分

，                                        5分

 橢圓的方程為                          7分

（Ⅱ）假設(shè)存在符合條件的點(diǎn),

設(shè)直線的方程為                           8分

由得:，，

，

的中點(diǎn)為                    10分

四邊形為平行四邊形，與的中點(diǎn)重合，即：

                              13分

把點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓的方程得:

解得                                          14分

存在符合條件的直線的方程為：       15分

考點(diǎn)：橢圓的方程，直線與橢圓位置關(guān)系．