如果函數(shù)f(x)在區(qū)間D上有定義,且對任意x1,x2∈D,x1≠x2,都有,則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間D上的“凹函數(shù)”.
(Ⅰ)已知f(x)=ln(1+ex)-x(x∈R),判斷f(x)是否是“凹函數(shù)”,若是,請給出證明;若不是,請說明理由;
(Ⅱ)已知f(x)=ln(1+ex)-x是定義域在R上的減函數(shù),且A、B、C是其圖象上三個(gè)不同的點(diǎn),求證:△ABC是鈍角三角形.
【答案】分析:(Ⅰ)首先由題設(shè)條件右以判斷函數(shù)f(x)是凹函數(shù),然后用函數(shù)單調(diào)性的定義進(jìn)行證明
(Ⅱ)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),C((x3,y3),且x1<x2<x3,由f(x)是x∈R上的單調(diào)減函數(shù)知f(x1)>f(x2)>f(x3),由此能夠推導(dǎo)出<B是鈍角,所以△ABC為鈍角三角形.
解答:解:(Ⅰ)函數(shù)f(x)是凹函數(shù),證明如下:設(shè)x1,x2∈R,且x1<x2,

=
=
=





∴f(x)是凹函數(shù)(7分)
(Ⅱ)證明:(Ⅱ)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),C((x3,y3),
且x1<x2<x3,∵f(x)是x∈R上的單調(diào)減函數(shù)∴f(x1)>f(x2)>f(x3)∴
∵x1-x2<0,x3-x2>0,f(x1)-f(x2)>0,f(x3)-f(x2)<0

故△ABC為鈍角三角形.(13分)
點(diǎn)評:本題考查函數(shù)的性質(zhì)和應(yīng)用,解題時(shí)要認(rèn)真審題,仔細(xì)解答.
練習(xí)冊系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2009•海珠區(qū)二模)已知f(x)=xlnx,g(x)=x3+ax2-x+2.
(Ⅰ)如果函數(shù)g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-
13
,1)
,求函數(shù)g(x)的解析式;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的條件下,求函數(shù)y=g(x)的圖象在點(diǎn)P(-1,1)處的切線方程;
(Ⅲ)若不等式2f(x)≤g′(x)+2恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•天河區(qū)三模)設(shè)f(x)是定義在區(qū)間(1,+∞)上的函數(shù),其導(dǎo)函數(shù)為f'(x).如果存在實(shí)數(shù)a和函數(shù)h(x),其中h(x)對任意的x∈(1,+∞)都有h(x)>0,使得f'(x)=h(x)(x2-ax+1),則稱函數(shù)f(x)具有性質(zhì)P(a).
(1)設(shè)函數(shù)f(x)=Inx+
b+2x+1
(x>1)
,其中b為實(shí)數(shù).
(i)求證:函數(shù)f(x)具有性質(zhì)P(b);
(ii)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間.
(2)已知函數(shù)g(x)具有性質(zhì)P(2),給定x1,x2∈(1,+∞),x1<x2,設(shè)m為實(shí)數(shù),a=mx1+(1-m)x2,β=(1-m)x1+mx2,且a>1,β>1,若|g(a)-g(β)|<|g(x1)-g(x2)|,求m取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•順義區(qū)二模)對于定義域?yàn)锳的函數(shù)f(x),如果任意的x1,x2∈A,當(dāng)x1<x2時(shí),都有f(x1)<f(x2),則稱函數(shù)f(x)是A上的嚴(yán)格增函數(shù);函數(shù)f(k)是定義在N*上,函數(shù)值也在N*中的嚴(yán)格增函數(shù),并且滿足條件f(f(k))=3k.
(Ⅰ)判斷函數(shù)f(3x)=2×3x(x∈N)是否是N上的嚴(yán)格增函數(shù);
(Ⅱ)證明:f(3k)=3f(k);
(Ⅲ)是否存在正整數(shù)k,使得f(k)=2012,若存在求出k值;若不存在請說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•順義區(qū)一模)對于定義域?yàn)锳的函數(shù)f(x),如果任意的x1,x2∈A,當(dāng)x1<x2時(shí),都有f(x1)<f(x2),則稱函數(shù)f(x)是A上的嚴(yán)格增函數(shù);函數(shù)f(k)是定義在N*上,函數(shù)值也在N*中的嚴(yán)格增函數(shù),并且滿足條件f(f(k))=3k.
(Ⅰ)證明:f(3k)=3f(k);
(Ⅱ)求f(3k-1)(k∈N*)的值;
(Ⅲ)是否存在p個(gè)連續(xù)的自然數(shù),使得它們的函數(shù)值依次也是連續(xù)的自然數(shù);若存在,找出所有的p值,若不存在,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2011•武進(jìn)區(qū)模擬)函數(shù)f(x)=
1
2
ax2-bx-lnx
,a>0,f'(1)=0.
(1)①試用含有a的式子表示b;②求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)對于函數(shù)圖象上的不同兩點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),如果在函數(shù)圖象上存在點(diǎn)P(x0,y0)(其中x0在x1與x2之間),使得點(diǎn)P處的切線l∥AB,則稱AB存在“伴隨切線”,當(dāng)x0=
x1+x2
2
時(shí),又稱AB存在“中值伴隨切線”.試問:在函數(shù)f(x)的圖象上是否存在兩點(diǎn)A、B,使得AB存在“中值伴隨切線”?若存在,求出A、B的坐標(biāo);若不存在,說明理由.

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