Question

在△ABC中，兩個定點(diǎn)A（-3，0）B（3，0），△ABC的垂心H（三角形三條高線的交點(diǎn)）是AB邊上高線CD的中點(diǎn)．
（1）求動點(diǎn)C的軌跡方程；
（2）斜率為2的直線l交動點(diǎn)C的軌跡于P、Q兩點(diǎn)，求△OPQ面積的最大值（O是坐標(biāo)原點(diǎn)）．

Answer 1

（1）設(shè)動點(diǎn)C（x，y）則D（x，0）．因?yàn)镠是CD的中點(diǎn)，故H(x，

y

2

)
因?yàn)锳H⊥BC所以k_AH•k_BC=-1故

y 2

x+3

•

y

x-3

=-1
整理得動點(diǎn)C的軌跡方程

x2

9

+

y2

18

=1(y≠0)
（2）設(shè)l：y=2x+m并代入

x2

9

+

y2

18

=1(y≠0)得6x²+4mx+m²-18=0，
∵△=（4m）²-4×6×（m²-18）＞0
∴54-m²＞0  
 即m∈(-3

6

，3

6

)，
 |PQ|=

(1+22)[(- 4m 6 )2-4• m2-18 6 ]

=

10

3

54-m2

又原點(diǎn)O到直線l的距離為d=

|m|

5

∴S_△OPQ=

1

2

×

10

3

×

54-m2

×

|m|

5

=

2

6

(54-m2)m2

≤

2

6

×

54-m2+m2

2

=

9 2

2

          
當(dāng)且僅當(dāng)54-m²=m²即m=±3

3

時等號成立，
故△OPQ面積的最大值為

9 2

2

．