Question

在銳角三角形ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，已知cosA=

1

3

．
（1）求tan2

A

2

+sin2

A

2

的值；
（2）若a=6，S△ABC=9

2

，求b的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)三角函數(shù)的降冪公式與同角三角函數(shù)的關(guān)系，將原式化簡(jiǎn)為關(guān)于cosA的式子，再代入cosA的值即可得到答案．
（2）由S△ABC=9

2

利用三角形的面積公式，算出bc=27．根據(jù)a=6且cosA=

1

3

，利用余弦定理列式解出b²+c²=54，再將兩式聯(lián)解即可得出b的值．

解答：解：（1）根據(jù)題意，可得tan2

A

2

+sin2

A

2

=sin2

A

2

(

1

cos2 A 2

+1)=

1-cosA

2

(

2

1+cosA

+1)
∵cosA=

1

3

，
∴原式=

1- 1 3

2

(

2

1+ 1 3

+1)=

5

6

；
（2）∵S△ABC=

1

2

bcsinA=

1

2

bc

1-cos2A

=9

2

，
∴

1

2

bc×

2 2

3

=9

2

，
解得bc=27．
又∵a=6，cosA=

1

3

，
∴根據(jù)侮定理，得a²=b²+c²-2bccosA，
即36=b²+c²-18，
化簡(jiǎn)得b²+c²=54．與bc=27聯(lián)解可得b=c=

27

，
∴b=3

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題給出三角形滿足的條件，求三角函數(shù)式的值并求邊b的值．著重考查了三角恒等變換公式、余弦定理與三角形的面積公式，考查了函數(shù)方程的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．