Question

如圖，在六面體ABCDEFG中，平面ABC∥平面DEFG，AD⊥平面DEFG，AB⊥AC，ED⊥DG，EF∥DG，且AB=AD=DE=DG=2，AC=EF=1．
（Ⅰ）求證：BF∥平面ACGD；
（Ⅱ）求二面角A-EG-D的正切值；
（Ⅲ） 求六面體ABCDEFG的體積．

Answer 1

證明：（Ⅰ）設(shè)DG的中點為M，連接AM、FM，
則由已知條件易證四邊形DEFM是平行四邊形，
所以MF∥DE，且MF=DE
又∵AB∥DE，且AB=DE
∴MF∥AB，且MF=AB
∴四邊形ABMF是平行四邊形，即BF∥AM，
又BF?平面ACGD 故BF∥平面ACGD
（Ⅱ）連接EG，取EG的中點O，連接DO，AO
∵DE=DG=2，∴
∵AD⊥平面DEFG，∴AO⊥EG
∴∠AOD為所求二面角的平面角
∵AD=2，∴
∴二面角A-EG-D的正切值為
（Ⅲ）V_{多面體ABC-DEFG}=V_{三棱柱ADM-BEF}+V_{三棱柱ABC-MFG}=DE×S_△ADM+AD×S_△MFG
==4．
分析：（Ⅰ）設(shè)DG的中點為M，連接AM、FM，證明BF平行平面ACGD內(nèi)的直線AM，即可證明BF∥平面ACGD；
（Ⅱ）連接EG，取EG的中點O，連接DO，AO，則易得∠AOD為所求二面角的平面角，從而可求二面角A-EG-D的正切值；
（Ⅲ）利用V_{多面體ABC-DEFG}=V_{三棱柱ADM-BEF}+V_{三棱柱ABC-MFG}直接求五面體ABCDEFG的體積．
點評：本題考查直線與平面平行的判定，棱柱、棱錐、棱臺的體積，考查邏輯思維能力，空間想象能力，考查面面角，關(guān)鍵是根據(jù)題意作出二面角的平面角．