Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD=2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD．E和F分別是CD和PC的中點(diǎn)，求證：
（Ⅰ）PA⊥底面ABCD；
（Ⅱ）BE∥平面PAD；
（Ⅲ）平面BEF⊥平面PCD．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根據(jù)條件，利用平面和平面垂直的性質(zhì)定理可得PA⊥平面ABCD．
（Ⅱ）根據(jù)已知條件判斷ABED為平行四邊形，故有BE∥AD，再利用直線和平面平行的判定定理證得BE∥平面PAD．
（Ⅲ）先證明ABED為矩形，可得BE⊥CD ①．現(xiàn)證CD⊥平面PAD，可得CD⊥PD，再由三角形中位線的性質(zhì)可得EF∥PD，
從而證得 CD⊥EF ②．結(jié)合①②利用直線和平面垂直的判定定理證得CD⊥平面BEF，再由平面和平面垂直的判定定理
證得平面BEF⊥平面PCD．
解答：解：（Ⅰ）∵PA⊥AD，平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，由平面和平面垂直的性質(zhì)定理可得PA⊥平面ABCD．
（Ⅱ）∵AB∥CD，AB⊥AD，CD=2AB，E和F分別是CD和PC的中點(diǎn)，故四邊形ABED為平行四邊形，故有BE∥AD．
又AD?平面PAD，BE不在平面PAD內(nèi)，故有BE∥平面PAD．
（Ⅲ）平行四邊形ABED中，由AB⊥AD可得，ABED為矩形，故有BE⊥CD ①．
由PA⊥平面ABCD，可得PA⊥AB，再由AB⊥AD可得AB⊥平面PAD，∴CD⊥平面PAD，故有CD⊥PD．
再由E、F分別為CD和PC的中點(diǎn)，可得EF∥PD，∴CD⊥EF ②．
而EF和BE是平面BEF內(nèi)的兩條相交直線，故有CD⊥平面BEF．
由于CD?平面PCD，∴平面BEF⊥平面PCD．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線和平面垂直的判定定理，直線和平面平行的判定定理，平面和平面垂直的判定定理、性質(zhì)定理的應(yīng)用，屬于中檔題．