Question

下表提供了某廠節(jié)能降耗技術(shù)改進(jìn)后生產(chǎn)甲產(chǎn)品過程中記錄的產(chǎn)量x（噸）與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗y（噸標(biāo)準(zhǔn)煤）的幾組對(duì)照數(shù)據(jù)．

x	3	4	5	6
y	2.5	3	4	4.5

（1）請(qǐng)根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出y關(guān)于x的回歸方程

y

=

b

x+

a

；
（2）已知該廠技改前100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗為90噸標(biāo)準(zhǔn)煤．試根據(jù)（1）求出的回歸方程，預(yù)測(cè)生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗比技改前降低多少噸標(biāo)準(zhǔn)煤？
（參考數(shù)值：3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=66.5）計(jì)算回歸系數(shù)

a

，

b

．公式為

b = n i=1 xiyi-n . x . y n i=1 xi2-n . x2 a = . y - b . x

．

Answer 1

考點(diǎn)：回歸分析的初步應(yīng)用

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（1）根據(jù)所給的這組數(shù)據(jù)求出利用最小二乘法所需要的幾個(gè)數(shù)據(jù)，代入求系數(shù)b的公式，求得結(jié)果，再把樣本中心點(diǎn)代入，求出a的值，得到線性回歸方程．
（2）根據(jù)上一問所求的線性回歸方程，把x=100代入線性回歸方程，預(yù)測(cè)生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗比技改前降低標(biāo)準(zhǔn)煤的數(shù)量．

解答： 解：（1）

.

x

=

3+4+5+6

4

=4.5，

.

y

=

2.5+3+4+4.5

4

=3.5，

4

i=1

xiyi=3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=66.5，

4

i=1

xi2=3²+4²+5²+6²=86，
∴

b

=

4 i=1 xiyi-4 . x . y

4 i=1 xi2-4 . x 2

=

66.5-4×4.5×3.5

86-4×4．52

=0.7，

a

=

.

y

-

b

.

x

=3.5-0.7×4.5=0.35．
∴所求的回歸方程為

y

=0.7x+0.35．
（2）現(xiàn)在生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品用煤

y

=0.7×100+0.35=70.35，∴90-70.35=19.65．
∴生產(chǎn)能耗比技改前降低約19.65噸標(biāo)準(zhǔn)煤．

點(diǎn)評(píng)：本題考查線性回歸方程的求法和應(yīng)用，本題是非常符合新課標(biāo)中對(duì)于線性回歸方程的要求，注意通過這個(gè)題目掌握一類問題，注意數(shù)字的運(yùn)算．