Question

（2012•楊浦區(qū)二模）已知點(diǎn)A（-1，1），若曲線G上存在兩點(diǎn)B，C，使△ABC為正三角形，則稱G為T型曲線．給定下列三條曲線：
①y=-x+3（0≤x≤3）
②y=

2-x2

（-

2

≤x≤0）
③y=-

1

x

（x＞0），
則T型曲線的個數(shù)是（　　）

A．0

B．1

C．2

D．3

Answer 1

分析：曲線①，點(diǎn)在線外，求出點(diǎn)到直線的距離為

3

2

2

，即BC邊上的高為

3

2

2

，進(jìn)一步分析知所求正三角形的邊長為

6

，寫出以A為圓心，以

6

為半徑的圓，和直線方程聯(lián)立求解判斷；
對于②，把給定的曲線方程變形，得到曲線曲線形狀，知點(diǎn)A在曲線上，通過分析極端情況判斷；
對于③，根據(jù)對稱性，判出如果存在B、C，則兩點(diǎn)連線的斜率以應(yīng)為1，設(shè)出B、C連線方程，根據(jù)正三角形邊長與高的關(guān)系，列方程求解．

解答：解：對于①，A（-1，1）到直線y=-x+3的距離為

3

2

2

，若直線上存在兩點(diǎn)B，C，使△ABC為正三角形，則|AB|=|AC|=，

6

，以A為圓心，以

6

為半徑的圓的方程為（x+1）²+（y-1）²=6，聯(lián)立

y=-x+3 (x+1)2+(y-1)2=6

解得x=

1+ 3

2

，或x=

1- 3

2

，后者小于0，所以對應(yīng)的點(diǎn)不在曲線上，所以①不是．
對于②，y=

2-x2

(-

2

≤x≤0)化為x2+y2=2(-

2

≤x≤0)，圖形是第二象限內(nèi)的四分之一圓弧，此時連接A點(diǎn)與圓弧和兩坐標(biāo)軸交點(diǎn)構(gòu)成的三角形頂角最小為135°，所以②不是．
對于③，根據(jù)對稱性，若y=-

1

x

上存在兩點(diǎn)B、C使A、B、C構(gòu)成正三角形，則兩點(diǎn)連線的斜率為1，設(shè)B、C所在直線方程為x-y+m=0，由題意知A到直線距離為直線被y=-

1

x

所截弦長的2

3

倍，列方程解得m=-

10

3

，所以曲線③是T型線．
故選B．

點(diǎn)評：本題是新定義問題，解題的關(guān)鍵是讀懂題目的意思，并且能夠把形的問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)方法解決，同時需要注意的是每條曲線的范圍．