Question

14、直線y=ex+b（e為自然對數(shù)的底數(shù)）與兩個函數(shù)f（x）=e^x，g（x）=lnx的圖象至多有一個公共點，則實數(shù)b的取值范圍是

[-2，0]

．

Answer 1

分析：直線與兩個函數(shù)的圖象至多有一個公共點，可以分為①與f（x）=e^x的圖象有一個公共點，且與g（x）=lnx的圖象沒有公共點；以及②與g（x）=lnx的圖象有一個公共點與f（x）=e^x的圖象沒有公共點；③和與兩個函數(shù)的圖象都沒有公共點三種情況．

解答：解：當(dāng)y=ex+b與函數(shù)f（x）=e^x有一個公共點時，轉(zhuǎn)化為ex+b=e^x只有一個根，令F（x）=e^x-（ex+b），則其導(dǎo)函數(shù)為F^/（x）=e^x-e，所以F^/（x）＞0時x＞1，F(xiàn)^/（x）＜0時x＜1，則F（x）在x=1時取極小值F（1）=-b，所以當(dāng)y=ex+b與函數(shù)f（x）=e^x有一個公共點時須-b=0，即b=0．當(dāng)y=ex+b與函數(shù)f（x）無公共點時須-b＞0，即b＜0．
同理可得y=ex+b與g（x）=lnx有一個公共點時，b=-2，當(dāng)y=ex+b與函數(shù)g（x）=lnx無公共點時，b＞-2．
故與f（x）=e^x的圖象有一個公共點，且與g（x）=lnx的圖象沒有公共點成立時b=0，
與g（x）=lnx的圖象有一個公共點與f（x）=e^x的圖象沒有公共點成立時b=-2，
與兩個函數(shù)的圖象都沒有公共點成立時-2＜b＜0，
綜上可知[-2，0]
故答案為：[-2，0]

點評：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及對應(yīng)方程根的問題，體現(xiàn)了導(dǎo)數(shù)在研究方程中的應(yīng)用