Question

18．已知函數y=g（x）的圖象過點（4，5），且在R上單調遞增．若函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{g}^{-1}（x+2）（x≥3）}\\{（a-1）x+1（x＜3）}\end{array}\right.$存在反函數，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 由互為反函數的兩函數的圖象關于直線y=x對稱，可得g^-1（x）遞增，g^-1（x+2）遞增，由反函數存在的條件可得，f（x）在R上遞增，則a-1＞0，①，4≥3（a-1）+1，即a≤2，②，求出它們的交集，即可得到所求范圍．

解答 解：由互為反函數的兩函數的圖象關于直線y=x對稱，
可得函數g^-1（x）與g（x）的單調性相同，可得g^-1（x）遞增，
由平移不改變單調性，可得g^-1（x+2）遞增，
由函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{g}^{-1}（x+2）（x≥3）}\\{（a-1）x+1（x＜3）}\end{array}\right.$存在反函數，
可得f（x）在R上遞增，則a-1＞0，①
又g（4）=5，可得g^-1（5）=4，則4≥3（a-1）+1，即a≤2，②
由①②可得a的范圍是1＜a≤2．

點評 本題考查互為反函數的圖象的特點，以及存在反函數的條件，考查函數的單調性的判斷和運用，考查運算能力，屬于中檔題和易錯題．