Question

已知等差數(shù)列{a_n}的公差為-1，且a₂+a₇+a₁₂=-6，
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n與前n項(xiàng)和S_n；
（2）將數(shù)列{a_n}的前4項(xiàng)抽去其中一項(xiàng)后，剩下三項(xiàng)按原來順序恰為等比數(shù)列{b_n}的前3項(xiàng)，記{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n，若存在m∈N^*，使對任意n∈N^*總有S_n＜T_m+λ恒成立，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先利用a₂+a₇+a₁₂=-6以及等差數(shù)列的性質(zhì)，求出a₇=-2，再把公差代入即可求出首項(xiàng)，以及通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和S_n；
（2）先由已知求出等比數(shù)列的首項(xiàng)和公比，代入求和公式得T_m，并利用函數(shù)的單調(diào)性求出其范圍；再利用（1）的結(jié)論以及S_n＜T_m+λ恒成立，即可求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

解答：解：（1）由a₂+a₇+a₁₂=-6得a₇=-2，
所以a₁=4（4分）
∴a_n=5-n，
從而Sn=

n(9-n)

2

（6分）
（2）由題意知b₁=4，b₂=2，b₃=1（18分）
設(shè)等比數(shù)列b_n的公比為q，則q=

b2

b1

=

1

2

，
∴Tm=

4[1-( 1 2 )m]

1- 1 2

=8[1-(

1

2

)m]
∵(

1

2

)m隨m遞減，
∴T_m為遞增數(shù)列，得4≤T_m＜8（10分）
又Sn=

n(9-n)

2

=-

1

2

(n2-9n)=-

1

2

[(n-

9

2

)2-

81

4

]，
故（S_n）_max=S₄=S₅=10，（11分）
若存在m∈N^*，使對任意n∈N^*總有S_n＜T_m+λ
則10＜8+λ，得λ＞2（14分）

點(diǎn)評：本題主要考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的基礎(chǔ)知識，以及數(shù)列與函數(shù)的綜合問題，屬于基礎(chǔ)知識的大綜合．