Question

3．求直線x-y+2=0與x²+y²=25的兩個交點的坐標與它們之間的距離．

Answer 1

分析 直接聯(lián)立方程組求解兩交點坐標，利用弦心距、弦長、圓的半徑間的關系求得兩交點間的距離．

解答 解：聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x-y+2=0}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=25}\end{array}\right.$，得2x²+4x-21=0，解得${x}_{1}=\frac{-2-\sqrt{46}}{2}，{x}_{2}=\frac{-2+\sqrt{46}}{2}$．
當${x}_{1}=\frac{-2-\sqrt{46}}{2}$時，${y}_{1}=\frac{2-\sqrt{46}}{2}$；
當${x}_{2}=\frac{-2+\sqrt{46}}{2}$時，${y}_{2}=\frac{6-\sqrt{46}}{2}$．
∴直線x-y+2=0與x²+y²=25的兩個交點的坐標為（$\frac{-2-\sqrt{46}}{2}，\frac{2-\sqrt{46}}{2}$），（$\frac{-2+\sqrt{46}}{2}，\frac{6-\sqrt{46}}{2}$）；
∵圓x²+y²=25的圓心（0，0）到直線x-y+2=0距離為d=$\frac{|2|}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$，
圓的半徑r=5，
∴圓x²+y²=25被直線x-y+2=0所截半弦長為$\sqrt{{5}^{2}-（\sqrt{2}）^{2}}=\sqrt{23}$，
則直線x-y+2=0與x²+y²=25的兩個交點之間的距離為$2\sqrt{23}$．

點評 本題考查直線與圓的位置關系，訓練了方程組的解法，訓練了求解直線被圓所截弦長的方法，是中檔題．