【題目】定義:對于數(shù)列,如果存在常數(shù),使對任意正整數(shù),總有成立,那么我們稱數(shù)列為“﹣擺動(dòng)數(shù)列”.
(1)設(shè),,,判斷數(shù)列、是否為“﹣擺動(dòng)數(shù)列”,并說明理由;
(2)已知“﹣擺動(dòng)數(shù)列”滿足:,.求常數(shù)的值;
(3)設(shè),,且數(shù)列的前項(xiàng)和為.求證:數(shù)列是“﹣擺動(dòng)數(shù)列”,并求出常數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)數(shù)列不是“﹣擺動(dòng)數(shù)列”,數(shù)列是“﹣擺動(dòng)數(shù)列”,理由見解析;(2);(3)證明見解析,的取值范圍是
【解析】
(1)根據(jù)定義分析是否存在滿足條件,由此判斷、是否為“擺動(dòng)數(shù)列”;
(2)根據(jù)定義分析奇數(shù)、偶數(shù)項(xiàng)的情況,再根據(jù)遞推關(guān)系構(gòu)造不等式,從而可求解出的取值范圍;
(3)先分析存在值滿足“擺動(dòng)數(shù)列”,然后即可分奇偶項(xiàng)討論的取值范圍.
(1)假設(shè)數(shù)列是“﹣擺動(dòng)數(shù)列”,
即存在常數(shù),總有對任意成立,
不妨取時(shí)則,取時(shí)則,顯然常數(shù)不存在,
∴數(shù)列不是“﹣擺動(dòng)數(shù)列”;
由,于是對任意成立,其中.
∴數(shù)列是“﹣擺動(dòng)數(shù)列”.
(2)由數(shù)列為“﹣擺動(dòng)數(shù)列”,,
即存在常數(shù),使對任意正整數(shù),總有成立;
即有成立.
則,
∴.
同理.
∴,解得即.
同理,解得;即.
綜上.
(3)證明:由,
顯然存在,使對任意正整數(shù),總有成立,
∴數(shù)列是“﹣擺動(dòng)數(shù)列”;
當(dāng)為奇數(shù)時(shí)遞減,∴,只要即可,
當(dāng)為偶數(shù)時(shí)遞增,,只要即可,
綜上,的取值范圍是.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知圓,線段、都是圓的弦,且與垂直且相交于坐標(biāo)原點(diǎn),如圖所示,設(shè)△的面積為,設(shè)△的面積為.
(1)設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,用表示;
(2)求證:為定值;
(3)用、、、表示出,試研究是否有最小值,如果有,求出最小值,并寫出此時(shí)直線的方程;若沒有最小值,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在邊長為4正方體中,為的中點(diǎn),,點(diǎn)在正方體表面上移動(dòng),且滿足,則點(diǎn)和滿足條件的所有點(diǎn)構(gòu)成的圖形的面積是______.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)的定義域?yàn)?/span>,設(shè),.
(Ⅰ)試確定t的取值范圍,使得函數(shù)在上為單調(diào)函數(shù);
(Ⅱ)求證:;
(Ⅲ)求證:對于任意的,總存在,滿足,又若方程在上有唯一解,請確定t的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為,且過坐標(biāo)原點(diǎn)O,數(shù)列的前n項(xiàng)和為,點(diǎn)()在二次函數(shù)的圖象上.
(1)求數(shù)列的表達(dá)式;
(2)設(shè)(),數(shù)列的前n項(xiàng)和為,若對恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(3)在數(shù)列中是否存在這樣的一些項(xiàng),,,,…,…(),這些項(xiàng)能夠依次構(gòu)成以為首項(xiàng),q(,)為公比的等比數(shù)列?若存在,寫出關(guān)于k的表達(dá)式;若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】四棱錐P﹣ABCD中,底面ABCD是邊長為2的菱形,側(cè)面PAD⊥底面ABCD,∠BCD=60°,,E是BC中點(diǎn),點(diǎn)Q在側(cè)棱PC上.
(Ⅰ)求證:AD⊥PB;
(Ⅱ)若Q是PC中點(diǎn),求二面角E﹣DQ﹣C的余弦值;
(Ⅲ)是否存在Q,使PA∥平面DEQ?若存在,求出的值;若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)是各項(xiàng)均為非零實(shí)數(shù)的數(shù)列的前n項(xiàng)和,給出如下兩個(gè)命題上:命題p:是等差數(shù)列;命題q:等式對任意恒成立,其中k,b是常數(shù).
(1)若p是q的充分條件,求k,b的值;
(2)對于(1)中的k與b,問p是否為q的必要條件,請說明理由;
(3)若p為真命題,對于給定的正整數(shù)n和正數(shù)M,數(shù)列滿足條件,試求 的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】春節(jié)期間,受煙花爆竹集中燃放影響,我國多數(shù)城市空氣中濃度快速上升,特別是在大氣擴(kuò)散條件不利的情況下,空氣質(zhì)量在短時(shí)間內(nèi)會(huì)迅速惡化年除夕18時(shí)和初一2時(shí),國家環(huán)保部門對8個(gè)城市空氣中濃度監(jiān)測的數(shù)據(jù)如表單位:微克立方米.
除夕18時(shí)濃度 | 初一2時(shí)濃度 | |
北京 | 75 | 647 |
天津 | 66 | 400 |
石家莊 | 89 | 375 |
廊坊 | 102 | 399 |
太原 | 46 | 115 |
上海 | 16 | 17 |
南京 | 35 | 44 |
杭州 | 131 | 39 |
Ⅰ求這8個(gè)城市除夕18時(shí)空氣中濃度的平均值;
Ⅱ環(huán)保部門發(fā)現(xiàn):除夕18時(shí)到初一2時(shí)空氣中濃度上升不超過100的城市都是“禁止燃放煙花爆竹“的城市,濃度上升超過100的城市都未禁止燃放煙花爆竹從以上8個(gè)城市中隨機(jī)選取3個(gè)城市組織專家進(jìn)行調(diào)研,記選到“禁止燃放煙花爆竹”的城市個(gè)數(shù)為X,求隨機(jī)變量y的分布列和數(shù)學(xué)期望;
Ⅲ記2017年除夕18時(shí)和初一2時(shí)以上8個(gè)城市空氣中濃度的方差分別為和,比較和的大小關(guān)系只需寫出結(jié)果.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校為調(diào)查學(xué)生喜歡“應(yīng)用統(tǒng)計(jì)”課程是否與性別有關(guān),隨機(jī)抽取了選修課程的55名學(xué)生,得到數(shù)據(jù)如下表:
喜歡統(tǒng)計(jì)課程 | 不喜歡統(tǒng)計(jì)課程 | ||
男生 | 20 | 5 | |
女生 | 10 | 20 | |
(1)判斷是否有99.5%的把握認(rèn)為喜歡“應(yīng)用統(tǒng)計(jì)”課程與性別有關(guān)?
(2)用分層抽樣的方法從喜歡統(tǒng)計(jì)課程的學(xué)生中抽取6名學(xué)生作進(jìn)一步調(diào)查,將這6名學(xué)生作為一個(gè)樣本,從中任選2人,求恰有1個(gè)男生和1個(gè)女生的概率.
臨界值參考:
0.10 | 0.05 | 0.25 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
(參考公式:,其中)
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